Как понимать огромные числа

26 January 2018

NASA Goddard Space Flight Center
NASA Goddard Space Flight Center

Мы живем среди огромных величин, но они не должны нас пугать.

Волшебник статистики Ханс Рослинг, покинувший нас в этом месяце в возрасте 68 лет, всегда приносил с собой на выступления как миимум 10 рулонов туалетной бумаги. Он строил из них башню на столе: один рулон — один миллиард человек. В 2012 на выступлении в рамках Мирового форума Сколл, он использовал эти рулоны, чтобы показать, как при неизменяющемся количестве детей в мире — два миллиарда, население Земли вырастет с 7 миллиардов до (тоже довольно устойчивой цифры) в 10 миллиардов. “Мы все еще не определились с лимитом запасов нефти,” — отметил он, — “но знаем, что достигли лимита детей.”

Со своим причудливым реквизитом и другими яркими визуализациями Рослинг стал известен как переводчик с огромных, просто недоступных пониманию чисел на язык нашей обыденной жизни. Он понимал, что большинству из нас нужны визуализации или аналогии, чтобы работать с миллионами, миллиардами и другими степенями 10, которые описывают наш мир. Они важны для принятия решений, которые затрагивают вашу жизнь, будь то как вкладывать деньги или какие законопроекты правительства поддерживать. Так насколько же хорошо — а точнее плохо — люди понимают степени десяти? И что нужно для того, чтобы проще в них ориентироваться?

Думая над этими вопросами, я начала читать о сфере науки, называемой численным познанием (numerical cognition). Ученые, работающие в этой сфере, изучают не только то, как мы думаем, но как мы думаем цифрами, что мы думаем о них.

Не так уж много исследований было проведено на тему того, как наш мозг вопринимает и осмысливает величины больших порядков — большие разницы между, скажем, клеткой и солнцем. Но один ученый особенно увлечен этой темой — Дэвид Ленди, доцент психологических наук и когнитивной психологии в Индианском университете в Блумингтоне. Ленди провел уже несколько исследований того, как хорошо люди понимают огромные числа — в частности, миллионы, миллиарды и триллионы, — по отношению к друг другу на числовой прямой.

“Я удивлен, что это вообще кому-либо удается.”

Если кратко: Примерно половина людей, с которыми он работал, показали довольно плохие результаты. В исследовании 2013-го года, к примеру, Ленди и его коллеги поставили два эксперимента, в которых нужно было дать оценку больших чисел. Величина выборки была небольшой, поэтому есть некоторая неуверенность в обобщении результатов, но это неплохое начало. Они узнали, что примерно половина участников неплохо справились с задачей определения чисел на прямой, в порядках 1 миллиона, 1 миллиарда и т.д. Но около 35% участников использовали то, что авторы назвали “сегментированной линейной эвристикой”. Это означает, что участники верно определяли разницу между числами в рамках миллионов или миллиардов, но при этом предполагали, что “миллион”, “миллиард” и “триллион” равномерно расположены на числовой прямой. То есть они в основном неплохо справлялись со сравнением 2 миллионов и 800 миллионов, но многие оценивали 980 миллардов и 2 миллиарда как почти равные.

Другими словами, пока вы сравниваете числа с одинаковым “ярлыком” или единицами величины — “миллион” с “миллионом” , — скорее всего вы успешно справитесь с определением их относительной величины. Но для многих возникают проблемы, когда они пытаются сравнить большие числа с разными “ярлыками” — “миллионы” и “миллиарды”. Причем попытка записать их с шестью или 9 нулями соответственно помогает не больше, чем использование названий “миллион” и “миллард”, показали результаты исследования Ленди. Если говорить о нотации степенями десятки, как 1⁰⁶, то это может привести к еще большему замешательству, если верить его неопубликованной работе.

Конечно, наши предки не жили среди миллиардов людей и не навлекали на себя долги в триллионы долларов. Степени величин, окружавшие их, были ограничены тем, что они могли потрогать и ощутить своими руками. Поэтому не удивительно, что мы осознаем разницу между одним метром и одним километром, но почти 149,6 миллионов километров до Солнца кажутся… ну очень далеко. Поэтому Ленди симпатизирует людям, которым не удается верно ответить на вопросы по числовой прямой. “Я удивлен, что это вообще кому-либо удается,” говорит он.

“Да я лучше осознаю, что такое масса солнца (1⁰³³ грамм), чем, скажем, унция.”

Успешность выполнения таких заданий важна, потому что, как показали исследования Ленди, ошибки суждения о больших величинах могут сильно повлиять на то, как вы относитесь к законопроектам и решениям правительства. Обоснуем: По указу об общих ассигациях Национальный науный фонд США получил за 2016 финансовый год $7.463 миллиарда. Общие бюджетные ассигнирования США за этот год составили $3.54 триллиона. Если вы относитесь к тем, кто не видит относительно большой разницы между миллиардом и триллионом, вам может показаться, что США тратят огромное количество денег на Национальный научный фонд. Вы даже можете одобрить или осудить такие большие траты правительства США. Но если вы понимаете, что миллиард в тысячу раз меньше триллиона, то сможете подсчитать, что фонду достались несчастные 0.2 процента от всего бюджета. (Или же вы можете думать о бюджете как, грубо говоря, о половине или одной трети бюджета на строительство стены на границе между США и Мексикой).

Так что же нужно сделать, чтобы эти числа стали более понятными? Группа из Майкрософта работают над этим.

Дэн Голдштайн, главный научный сотрудник, и Джейк Хофман, старнший научный сотрудник, занимаются проведением экспериментов с целью определить, какие вытекающие из контекста подсказки — они зовут их “перспективами” — могут помочь людям понять значение больших чисел, таких как расстояния, суммы долларов, количество населения и другие. В исследовании 2016-го года, Голдштайн и Хофман совместно с Пабло Баррио, специалистом по теории вычислительных машин и систем из Колумбийского университета, провели опрос в интернете попросив прислать “перспективы” к цитатам из New York Times, а потом участники оценили, насколько эти подсказки полезны. К отрывку из Times о количестве оружия, “Американци владеют почти 300 миллионами единиц огнестрельного оружия”, лидирующей подсказкой была эта: “Для сравнения, 300 миллинов единиц это примерно 1 огнестрельное оружие на каждого человека в США.”

“1 миллион секунд — это примерно 12 дней, в то время как 1 миллиард секунд — это почти 32 года.”

“Мы поняли, что перспективы помогают людям запоминать незнакомые числа, о которых они прочли, давать оценку числам, которые они раньше не видели, и ловить ошибки в возможно подтасованных числах,” — поделился Хофман. Во втором исследовании, которое еще не было опубликовано, результаты показали, что перспективы позитивно сказываются на восприятии цифр даже 6 недель спустя после знакомства с ними, рассказали исследователи.

Когда ученые манипулируют экстремальными величинами в своей ежедневной работе, они не сравнивают постоянно огромные числа и мизерными единицами нашей повседневной жизни. Вместо этого, в каждой области есть свои относительные перспективы. Пприямвада Натараджан (Priyamvada Natarajan), профессор астрономии и физики из Йельского университета, к примеру, говорит, что она работает абсолютно с другой системой оценок, когда думает о больших расстояниях и массах. Неспециалист в данной области может подсчитать, что черная дыра массой в миллион солнц будет иметь неподдающийся понимаю порядок в 1⁰³⁶ килограмм. Но для Натараджан, которая ежедневно работает с этими объектами, черная дыра массой в миллион солнц это единица измерения сама по себе. Более того, “Да я лучше осознаю, что такое масса солнца (¹⁰³³ грамм), чем, скажем, унция,” пишет она в письме. “Чтобы проще было обращаться с такими числами, нужно думать о них относительно друг друга, а не сравнивать с единицами измерения, знакомыми нам в обычной жизни,” добавляет она. Джефф Карп, доцент медицины из больницы Бригама и женщин в Бостоне, штат Массачусетс, проводит исследования в наномасштабе — миллиардных метра, что меньше толщины человеческого волоса. Это похоже на погружение в новый язык, объясняет он. “Чем больше вы погружаетесь в размышления о предметах в маленьких масштабах, и начиаете делать сравнения, и начинаете говорить об этом с другии и читать — тем проще становится,” — говорит он.

Некоторые результаты исследования Голдштейна и Хофмана были использованы в Bing — поисковой службе Майкрософта. К примеру, если вы введете “площадь…” и потом название страны, то скорее всего получите ее площадь в квардратных метров в сравнении с одним из американских штатов. По словам Хофмана и Голдштейна, лучше всего участники исследования осознавали площади штатов Техас и Калифорния. Так что допольно поучительным будет узнать, что Афганистан размером примерно с Техас, а Зимбабве соотносима с Калифорнией. Но некоторые перспективы требуют дальнейшей работы. Bing выдает, что Аргентина “примерно в 10 раз больше Невады,” а это штат площадь которого людям меньше знакома. “На базовом уровне помогают почти все такие иллюстрации,” говорит Голдштейн. “Порой нужно быть очень точным, если вы хотите подобрать корректные сравнения, которые помогут.”

Математик из Корнелльского университета Стивен Строгац, к примеру, спросил людей, знают ли они способ, как интуитивно ощутить разницу между миллионом и миллардом, — они не знали. Это его не удивило. В своей статье в New York Times “Визуализируя бескрайность” он пишет, “Всё, что далеко от нашего посведневного опыта, — кварки, динозавры, Ким Кардашьян, — очевидно сложно понять,” в том числе и огромные величины. Но когда он связал эти числа со временем, появилась перспектива: 1 миллион секунд — это примерно 12 дней, в то время как 1 миллиард секунд — это почти 32 года. “Любой понимает, когда объесняешь ему подобным образом,” пишет он в письме. “Если ты просто скажешь, что миллард это на три порядка больше чем миллион, не думаю, что это произведет то же впечатление.”

Мы живем среди огромных величин, но они не должны нас пугать. Рослинг попрощался с публикой в документальном фильме Don’t Panic (2013) словами: “Изучайте данные. Изучайте факты о мире, и вы увидите, где мы находимся сегодня, и как нам двигаться вперед со всеми этими миллиардами на нашей прекрасной планете.”

Перед вами перевод статьи Элизабет Ландау с Nautilus. Элизабет Ландау — популяризатор науки и специалист по коммуникациям, магистр журналистики Колумбийского университета и бакалавр антропологии Принстонского университета.

Подготовлено специально для проекта “Наука от Фансаенс”