35 267 subscribers

Аксонометрический угольник Бекетова — это широкие возможности на уроках геометрии и черчения

<100 full reads

Это чертежно-измерительный инструмент, направленный на выполнение практических задач по построению двухмерных и трёхмерных фигур на плоскости, а также по измерению и вычислению их линейных параметров, площади и объёма.

Своё название Аксонометрический угольник Бекетова (рис. 1) получил из принципа измерения и построения с его помощью объёмных фигур в точно заданной осевой (аксонометрической) проекции с учётом стандартного масштаба глубины 1:2 (одна единица глубины в проекции равна двум единицам фактической глубины изображаемого объекта).

Рис. 1
Рис. 1

Аксонометрический угольник представляет собой изделие в виде прямоугольного угольника с равными сторонами определённой целью построений ширины. Данный инструмент изготовлен из прозрачного пластика в виде тонкой ровной пластины (1,5 – 2 мм) указанной формы. Прямолинейные стороны инструмента снабжены шкалами делений и сложены в прямой угол, что позволяет использовать его в качестве обыкновенной линейки и угольника 90°х45°х45°, поскольку косые деления шкал сторон расположены под углом 45° к самим сторонам.

Широкие стороны угольника имеют повторяющие форму изделия прорези (пазы, каналы), расположенные на расстоянии половины единицы обеих шкал угольника (1= √1) по отношению к своим продольным серединам. Длина и ширина сторон аксонометрического угольника могут варьироваться в зависимости от поставленных перед практическим использованием инструмента задач.

На поверхность угольника нанесены измерительные шкалы в виде прямолинейной разметки сторон с помощью расположенных под углом 45° по отношению к параллельным прорезям косых линий. При этом внешние шкалы сторон угольника выражены в простых количественных единицах (1, 2, 3, 4 и т.д.), а внутренние — в соответствующих им квадратно-корневых единицах, то есть в образованных от равных натуральным числам квадратах под знаком квадратного корня (√1, √4, √9, √16 и т.д.). Именно эта особенность деления шкал позволяет рассматривать так называемую теорему Пифагора (a ^2+ b ^2= c ^2) в качестве измерительного инструмента для соответствующих сторонам полных квадратов прямых линий и строить квадраты заданной площади, как показано на рис. 2:

Рис. 2
Рис. 2

Итак, принцип функционирования аксонометрического угольника основан на теореме Пифагора, рассматриваемой с помощью комбинированных единиц измерения (1 = √1; 2 = √4; 3 = √9; 4 = √16 и т.д.). Абсолютное равенство целых чисел и корней их квадратов позволяет рассматривать данные числа в тесной взаимосвязи с заложенными в них возможностями и использовать названную теорему в качестве измерительного инструмента стороны квадрата и квадрата стороны одновременно (рис. 3):

Рис. 3
Рис. 3

По принципу нахождения наибольшей стороны прямоугольного треугольника (рис. 2) мы можем находить её путём элементарного сложения указанных на внутренних шкалах квадратных единиц под знаком квадратного корня

Аксонометрический угольник Бекетова — это широкие возможности на уроках геометрии и черчения
Рис. 4
Рис. 4

Данная форма записи соответствует предложенной Декартом в 1637 году.

По своей сути аксонометрический угольник является зафиксированным геометрическим построением, которое способствует упрощённому построению многогранников в аксонометрической проекции.

Многофункциональные свойства аксонометрического угольника заключают в себе большой потенциал для применения в науке. С его помощью выполняются следующие действия:

  1. Построение линий, углов, разносторонних, равнобедренных и прямоугольных треугольников, квадратов, прямоугольников, разносторонних параллелограммов, ромбов и трапеций с частично или полностью заданными параметрами (рис. 5):
Рис. 5
Рис. 5

Мы видим, что построение треугольников с известными основанием и высотой позволяет исследовать образование углов не на основе тригонометрических функций, а посредством квадратных соотношений внешних и внутренних параметров треугольника, т.е. его сторон и высоты (рис. 6):

Рис. 6
Рис. 6

Предполагается, что предложенный подход будет способствовать выработке альтернативного взгляда на закономерности соотношений углов и параметров прямолинейных фигур.

2. Построение объёмных (стереометрических) фигур в трёхмерной аксонометрической проекции на плоскости с заданными размерами (рис. 7) и положением в пространстве (рис. 8):

Приобретённый в течении недели практической работы с угольником навык позволяет быстро, легко, точно и аккуратно начертить каждую из продемонстрированных на рисунках фигур менее чем за минуту.

3. Упрощённое измерение и вычисление параметров, площади и объёма плоских (планиметрических) и объёмных (стереометрических) фигур (рис. 9):

Рис. 9
Рис. 9

На основании вышеизложенного оформляется вывод:

Поскольку аксонометрический угольник представляет собой сочетание основ фундаментальной математики и классической геометрии, открывается широкая возможность для использования данного чертежно-измерительного инструмента на школьных уроках математики, геометрии и черчения в качестве учебного пособия по изучению корней и квадратов чисел, упрощённого преподавания и облегчения понимания теоремы a ^2+ b ^2= c ^2 и оптимизации процесса линейных построений объёмных фигур в трёхмерном (евклидовом) пространстве на плоскости.

Видео-инструкции по использованию аксонометрического угольника при построении кубов, параллелепипедов, пирамид и призм можно посмотреть на канале Хакнем Школа. Вот одно из них:

В скором времени планируется создание тематического сайта, на котором будет предоставлена исчерпывающая информация о свойствах, функциях и использовании аксонометрического угольника на практике.

Автор: Андрей Юрьевич Бекетов, окончил исторический факультет СПбГУ по кафедре древней Греции и Рима.

Читайте наш канал в телеграм по этой ссылке

Другие статьи и видео автора:

Аксонометрический угольник Бекетова — это широкие возможности на уроках геометрии и черчения

#хакнем_математика 👈 подпишись на рубрику, содержащую интересный, познавательный контент по математике как для школьников, так и для взрослых 🥳