35 240 subscribers

Аксонометрический угольник Бекетова — новое изобретение открывает новые возможности в изучении математики

407 full reads

Аксонометрический угольник представляет собой чертёжно-измерительный инструмент, с помощью которого наряду с элементарными функциями линейки и угольника выполняются построения объёмных фигур — кубов, параллелепипедов (рисунок 1), правильных и неправильных пирамид и призм (рисунок 2) — в чётко заданной осевой проекции с учётом стандартного масштаба глубины 1:2 (одна единица глубины в проекции равна двум единицам реальной глубины изображаемого объекта). Название своё он получил от измерений и построений объёмов по точно определённым осям.

Аксонометрический угольник Бекетова. Фото автора
Аксонометрический угольник Бекетова. Фото автора

Использование аксонометрического угольника в качестве учебно-методического пособия способствует развитию абстрактного, логического и пространственного мышления, т.е. способности объёмного моделирования на плоскости и в воображении, благодаря сохранению порядка и последовательности выполняемых построений. Поскольку визуальное восприятие легкодоступных для черчения конструкций сопровождается ясным пониманием и представлением этих конструкций в уме, факт развития упорядоченного пространственного мышления в процессе работы с данным инструментом следует признать очевидным.

Рисунок 1
Рисунок 1

Фиксация в памяти закономерных соотношений линий, углов, плоскостей и ограниченных рёбрами и гранями объёмов даёт возможность мыслить конструктивно и творчески, опираясь не на хаотичное по своей природе образное мышление (воображение), а на закономерные математические связи, упорядочивающие и схематизирующие мыслительный процесс на уровне умозрительной визуализации, т.е. на идеи.

Это позволяет исключить из процесса мышления массу сомнительных представлений, основанных на случайных чувственных восприятиях, оставляющих в памяти беспорядочные следы. Однако данное описание возможностей и преимуществ аксонометрического угольника может показаться слишком туманным и сложным для понимания, поскольку не указывает на конкретные возможности и результаты использования этого чертежно-измерительного инструмента на практике. Чтобы конкретизировать целевое назначение и реальную пользу от применения аксонометрического угольника в процессе обучения, необходимо привести более веские аргументы.

Во-первых, аксонометрический угольник переносит концентрацию внимания с выполнения примитивных задач построения чертежа, которые значительно упрощаются благодаря самому инструменту, на решение творческих задач моделирования и конструирования. Перед использующим данный чертëжно-измерительный инструмент человеком встаёт вопрос «что именно я создаю?», а не «как сделать что-то?» Это значит, что всё его внимание переносится с решения принудительной задачи поиска средств на свободное и самостоятельное определение и достижение цели, которая становится центральным объектом внимания.

Экономия времени и сил, которые затрачиваются на соблюдение аккуратности, поиск точек на плоскости и соответствия этим точкам углов и границ прямых линий, позволяет использовать сохранённые время и силы более продуктивно для критической оценки и усовершенствования моделируемых объектов. В этом заключается основное преимущество аксонометрического угольника.

Рисунок 2
Рисунок 2

Во-вторых, данный угольник является универсальным чертëжно-измерительным инструментом, поскольку его функции не ограничиваются возможностями линейки с привычной шкалой делений и углами 90° и 45°. Внутренняя шкала аксонометрического угольника позволяет производить построения и измерения в квадратных единицах, которым соответствуют целые числа на внешней шкале, на что указывают косые линии, лежащие под углом 45° как по отношению к названным шкалам, так и по отношению к пересекающим их каналам (прорезям).

Помимо названных свойств, аксонометрический угольник способствует упрощённому построению равнобедренных и разносторонних треугольников с заданными размерами основания и высоты. Это, в свою очередь, позволяет без труда вычислить площадь треугольника по формуле (a*h) / 2 и его не известные стороны по теореме

Аксонометрический угольник Бекетова — новое изобретение открывает новые возможности в изучении математики

поскольку точка опоры высоты на основании становится известна в процессе построения треугольника, т.к. соответствует определённому делению на шкале угольника.

Черчение меньших сторон при построении прямоугольных треугольников по внутренним шкалам, которые измеряют длину линии в квадратных единицах под знаком квадратного корня, позволяет найти большую их сторону посредством суммы выраженных в квадратных единицах под знаком квадратного корня длин меньших сторон, сложенных в прямой угол. Для этого необходимо извлечь квадратный корень из суммы указанных на внутренних шкалах квадратов сторон, что соответствует вышеуказанной теореме.

Разумеется, данным способом измеряются и диагонали квадратов и прямоугольников. И хотя соединяющие внешние и внутренние шкалы косые линии позволяют производить указанные вычисления при построениях по обеим шкалам и всем угловым каналам, наиболее простым и очевидным способом при ознакомлении с данным чертежно-измерительным инструментом является построение по его внутренним шкалам.

К универсальным свойствам аксонометрического угольника при практическом использовании следует отнести возможность располагать на плоскости объёмные фигуры в противоположном направлении в пространстве. Для этого необходимо при построении повернуть уголок на 90° или перевернуть на обратную плоскость. Данный приём позволяет получить представление о точке, с которой наблюдатель рассматривает объект, т.е. слева или справа он от него расположен (рисунок 3).

Рисунок 3
Рисунок 3

Также аксонометрический угольник может быть использован для удобства элементарных построений таких плоских фигур, как квадрат, прямоугольник и параллелограмм с углами 45° и 135°. Угловые каналы (прорези) позволяют строить квадраты и прямоугольники заданных параметров и известной в случае с квадратом площадью, поскольку она измерена внутренней шкалой инструмента. Одно изменение положения угольника на плоскости позволяет построить квадрат или прямоугольник, ориентируясь на точки пересечения косыми линиями под углом 45° вертикальных и горизонтальных каналов (прорезей). Но о остях и удобствах построения плоских фигур, которое можно выполнить с помощью элементарного угольника с вертикальной и горизонтальной шкалами в простых единицах, здесь говорить излишне.

Вместе с тем, аксонометрический угольник позволяет чертить параллельные линии и прямые углы с заданным между ними стандартным расстоянием, благодаря чему мы получаем возможность схематически изображать прогрессию и периодичность, например, исходящего от источника света или волн от распространяющего их объекта.

Следует отметить возможность использования аксонометрического угольника для упрощённого оформления таблиц. Высоту граф и ширину столбцов таблицы можно легко варьировать благодаря стандартному расстоянию между параллельными каналами (прорезями) и разметке косыми линиями на данных прорезях, что позволит оптимально определить необходимую площадь для размещения требующегося количества символов. В частности, построение подобных таблиц может быть применено при оформлении чертежей.

В-третьих, работа с данным угольником позволяет одновременно рассматривать величины параметров, площадей и объёмов построенных фигур как в простых количественных, так и в квадратно-корневых единицах, т.е. выражающих величину параметра через площадь его квадрата под знаком квадратного корня.

Вместе с тем объединённые косыми линиями под углом 45° деления внешней и внутренней шкал угольника способствуют изучению сложного ряда квадратных чисел, состоящего из пар возведённых в квадрат целых чисел и извлечённых корней из так называемых полных квадратов целых чисел, что, несомненно, развивает и укрепляет память, расширяя горизонт знаний для оперативной умственной работы.

Возведению в квадрат и извлечению корней из квадратов чисел способствуют как сами соответствующие косым линиям шкалы делений (5 = √25; 6 = √36; 7 = √49; 8 = √64 и т.д.), так и возможность производить вычисления площадей и объёмов через известные квадраты сторон, из произведения которых извлекается корень.

Например, площадь прямоугольника со сторонами √4 и √9 равна корню из произведения квадратов сторон (√4 × √9 = √36 = 6 = 2 × 3). Таким же образом мы можем вычислить и объём параллелепипеда.

Возьмём для примера параллелепипед с рёбрами √4, √9 и √16. Корень из произведения квадратов его рёбер равен объёму данного параллелепипеда (√4 × √9 × √16 = √576 = 24 = 2 × 3 × 4).

И хотя предложенная методика вычисления площади и объёма представляется более сложной, она заключает в себе несомненное преимущество, поскольку позволяет освоить ряд квадратов двузначных чисел и извлечённых корней из полных квадратов названных чисел, что выходит за пределы получившей широкое распространение и состоящей из первых десяти чисел системы счисления таблицы умножения.

Даже угольник с внешними шкалами 15 см выводит нас за пределы обычной таблицы умножения, указывая на соответствующих каналам (прорезям) торцевых шкалах полные квадраты 11(121), 12(144), 13(169), 14(196), оставляя возможность получить квадрат пятнадцати (225) самостоятельно.

Закономерности при проведении подобных вычислений являются общими математическими правилами, что вместе с знанием квадратов двузначных чисел и извлечения корней из этих квадратов содействует расширению горизонта математических знаний и развитию умственных способностей.

В узкоспециальном смысле методики изучения математики описанная схема вычисления площади и объёма прямоугольных фигур через извлечение корня из произведения квадратов сторон направлена на развитие способностей для решения более сложных задач с возведением в квадрат целых чисел и извлечением корня из полных квадратов в уме, что, как было сказано, содействует укреплению памяти и умственному развитию в целом.

Производя измерения сторон при построении квадрата по делениям на внутренних шкалах угольника (рисунки 4, 5, 6), мы получаем возможность строить квадраты кратной единице площади, увеличив количество возможных точных построений в шесть раз. Наряду с полными квадратами целых чисел (1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100) в рамках первых десяти чисел принятой системы счисления у нас появляется возможность получить квадраты, площадь которых равна 2, 5, 8, 10, 13, 17, 18, 20, 26, 29, 32,34, 37, 40, 41, 45, 50, 52, 53, 58, 61, 65, 68, 72, 73, 74, 80, 82, 85, 89, 90, 97, 98, 101, 104, 106, 109, 113, 116, 117, 125, 128, 130, 136, 145, 149, 162, 164, 181, 200, используя суммы полных квадратов целых чисел. Разумеется, с помощью прямого угла при дальнейших построениях мы можем получить все недостающие стороны квадратов, соответствующие ряду целых чисел: 1+2=3 (сторона квадрата = √3) ; 2+4=6 (сторона квадрата = √6); 3+4=7 (сторона квадрата = √7) ; 1+10=11 (сторона квадрата = √11); 4+8=12 (сторона квадрата = √12) и т.д.

Указанный метод измерения сторон при построениях квадратов распространяется на все прямоугольные фигуры, в том числе и на объёмные, т.е. на прямоугольник, куб и параллелепипед. Эта функция аксонометрического угольника позволяет иначе взглянуть на проблему иррациональных чисел, которые становятся доступными для понимания и выражения с помощью квадратного корня.

И хотя порядок выполнения математических действий при выполнении подобных построений может показаться отличным от общепринятого, полученные результаты говорят в его пользу. Впрочем, на страницах труда по рациональной математике подробному рассмотрению данной темы уделено много внимания. Но чтобы не возникло сомнений, на рисунках рядом с простыми квадратно-корневыми вычислениями предложены сложные вычислительные аналоги по теореме Пифагора.

Наконец, аксонометрический угольник при правильном функциональном использовании способен развить интерес к рациональной математике, в процессе разработки замкнутой системы которой он и появился на свет в качестве облегчающего задачи геометрических построений приспособления и полезного для развития рационального мышления изобретения.

Именно поэтому от его практического применения следует ожидать не только очевидных результатов в ускорении и оптимизации процесса построения объёмных конструкций, выполнение которых всегда вызывает большие затруднения у учащихся, но также развития того незримого умственного потенциала, который заключает в себе наш разум.

Наряду с изложенным надо обратить внимание на технические характеристики рассматриваемого инструмента. Аксонометрический угольник стандартизирует объёмные изображения в соответствии с общепринятыми нормами визуализации объектов на плоскости. Например, масштаб глубины объёмных построений для экономии площади изображения и оптимального визуального восприятия равен 1:2, т.е. один сантиметр уходящей в глубину под углом 45° линии равен двум сантиметрам реальной величины данного параметра изображаемого объекта. Это значит, что фактическое расстояние между параллельными каналами (прорезями) равное пяти миллиметрам указывает на глубину в один сантиметр. Данный масштаб позволяет согласовать схему изображаемого объекта с неизбежными перспективными искажениями при визуальном восприятии объёма, сохраняя при этом пропорциональные соотношения между первыми двумя и третьим измерениями.

Как мы видим, целевое назначение данного чертежно-измерительного инструмента можно разделить на две области: развивающую и прикладную.

Однако наиболее важными следует признать развивающие разум функции аксонометрического угольника, поскольку с его помощью одновременно развиваются абстрактное (отвлечённое), пространственное (объёмное) и логическое (последовательное и упорядоченное) мышление, а также укрепляется память.

Говоря коротко, аксонометрический угольник способствует активации и развитию оперативных функций рационального мышления, т.е. развитию разума в целом, чему в немалой мере содействует одновременное рассмотрение построений в нескольких измерениях и свободное владение переводом единиц одного измерения в единицы другого. Именно в этой развивающей функции заключается основное преимущество описанного чертежно-измерительного инструмента.

Автор: Андрей Юрьевич Бекетов, окончил исторический факультет СПбГУ по кафедре древней Греции и Рима.

Об истории создания пространственного уголка читайте в статье по ссылке.

Далее вы можете посмотреть видео о том, как используется данный инструмент.

Читайте наш канал в телеграм по этой ссылке

Аксонометрический угольник Бекетова — новое изобретение открывает новые возможности в изучении математики

#хакнем_изобретения 👈 если Вы хотите, чтобы о Вашем изобретении или открытии узнали как можно больше читателей, напишите нам о нём на почту: story@haknem.com , и мы опубликуем ваш рассказ на канале Хакнем Школа от Вашего имени