Разложение квадратного трёхчлена на множители доступным языком для учащихся, которые готовятся к ОГЭ и ЕГЭ

1,3k full reads
3,8k story viewsUnique page visitors
1,3k read the story to the endThat's 35% of the total page views
2,5 minutes — average reading time

#хакнем_математика 👈 рубрика, содержащая интересный, познавательный контент по математике как для школьников, так и для взрослых 🥳

Авторские права на изображение принадлежат медиагруппе "Хакнем" и защищены товарным знаком ®️
Авторские права на изображение принадлежат медиагруппе "Хакнем" и защищены товарным знаком ®️
Авторские права на изображение принадлежат медиагруппе "Хакнем" и защищены товарным знаком ®️

ВСЁ о КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЯХ и НЕРАВЕНСТВАХ

ЧАСТЬ I. РАЗЛОЖЕНИЕ КВАДРАТНОГО ТРЁХЧЛЕНА на МНОЖИТЕЛИ СПОСОБОМ ГРУППИРОВКИ

Здравствуйте, уважаемые читатели! Перед вами первая статья цикла «ВСЁ о КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЯХ и НЕРАВЕНСТВАХ», задуманного для учеников старших классов, начиная с 9-го, готовящихся к ОГЭ или ЕГЭ. Как обычно, начну с определений.

Квадратное уравнение — это уравнение вида

Разложение квадратного трёхчлена на множители доступным языком для учащихся, которые готовятся к ОГЭ и ЕГЭ

где a, b и с — действительные числа, называемые коэффициентами квадратного уравнения, а ≠ 0 (иначе уравнение не будет квадратным) первый или старший коэффициент; b — второй коэффициент; с — свободный член, и х — неизвестная величина, значение которой надо найти, чтобы после подстановки его в уравнение оно превращалась бы в верное равенство.

Приведённое квадратное уравнение — это уравнение, у которого а = 1, имеет вид

Разложение квадратного трёхчлена на множители доступным языком для учащихся, которые готовятся к ОГЭ и ЕГЭ

но обычно его записывают в виде

Разложение квадратного трёхчлена на множители доступным языком для учащихся, которые готовятся к ОГЭ и ЕГЭ

где р — второй коэффициент и q — свободный член.

Квадратный трёхчлен — это выражение, стоящее в левой части квадратного уравнения и имеющее вид

Разложение квадратного трёхчлена на множители доступным языком для учащихся, которые готовятся к ОГЭ и ЕГЭ

Знакомство с квадратным трёхчленом начинается уже в 7-ом классе в теме РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ на МНОЖИТЕЛИ СПОСОБОМ ГРУППИРОВКИ. Казалось бы, какое отношение имеет квадратный трёхчлен к способу группировки, ведь здесь и группировать то нечего? Хорошо освоившие метод группировки, учащиеся догадаются, что трёхчлен следует превратить в четырёхчлен, но так, чтобы в каждой паре одночленов обязательно был одночлен с буквенным множителем х.

Для этого одночлен со вторым коэффициентом следует представить в виде суммы таких двух одночленов, чтобы произведение их числовых коэффициентов было равно свободному члену. Покажем, как это сделать на конкретных примерах, взятых из различных учебников для 7-го класса.

Пример 1. Разложить на множители многочлен

Разложение квадратного трёхчлена на множители доступным языком для учащихся, которые готовятся к ОГЭ и ЕГЭ

РЕШЕНИЕ. Представим одночлен 6х в виде суммы одночленов 2х + 4х:

Разложение квадратного трёхчлена на множители доступным языком для учащихся, которые готовятся к ОГЭ и ЕГЭ

ПРИМЕР 2. Разложить на множители квадратный трёхчлен

Разложение квадратного трёхчлена на множители доступным языком для учащихся, которые готовятся к ОГЭ и ЕГЭ

РЕШЕНИЕ.

Разложение квадратного трёхчлена на множители доступным языком для учащихся, которые готовятся к ОГЭ и ЕГЭ

ПРИМЕР 3. Представить квадратный трёхчлен в виде произведения.

Разложение квадратного трёхчлена на множители доступным языком для учащихся, которые готовятся к ОГЭ и ЕГЭ

РЕШЕНИЕ.

Разложение квадратного трёхчлена на множители доступным языком для учащихся, которые готовятся к ОГЭ и ЕГЭ

ПРИМЕР 4. Представить в виде произведения многочлен

Разложение квадратного трёхчлена на множители доступным языком для учащихся, которые готовятся к ОГЭ и ЕГЭ

РЕШЕНИЕ.

Разложение квадратного трёхчлена на множители доступным языком для учащихся, которые готовятся к ОГЭ и ЕГЭ

Мы рассмотрели разложение на множители квадратного трёхчлена с а=1. Обобщим полученные решения: можно заметить, что после представления одночлена со вторым коэффициентом в виде суммы одночленов число знаков «плюс» и/или число знаков «минус» чётно это может служить подсказкой для представления второго коэффициента в виде нужной суммы. Аналогично раскладываются на множители квадратные трёхчлены, у которых первый коэффициент принимает другие значения.

ПРИМЕР 5. Разложить на множители многочлен

Разложение квадратного трёхчлена на множители доступным языком для учащихся, которые готовятся к ОГЭ и ЕГЭ

РЕШЕНИЕ.

Разложение квадратного трёхчлена на множители доступным языком для учащихся, которые готовятся к ОГЭ и ЕГЭ

ПРИМЕР 6*. Разложить на множители квадратный трёхчлен

Разложение квадратного трёхчлена на множители доступным языком для учащихся, которые готовятся к ОГЭ и ЕГЭ

РЕШЕНИЕ. Заметим, что каждый одночлен трёхчлена делится на 3, поэтому

Разложение квадратного трёхчлена на множители доступным языком для учащихся, которые готовятся к ОГЭ и ЕГЭ

Разложение на множители записанного в скобках квадратного трёхчлена рассмотрено в решении примера № 2.

Разложение квадратного трёхчлена на множители доступным языком для учащихся, которые готовятся к ОГЭ и ЕГЭ

Отмечу, что не каждый квадратный трёхчлен можно разложить на множители, а о причине этого мы узнаем в одной из следующих статей.

В заключение статьи представлю достаточно широкую подборку квадратных трёхчленов для желающих отработать навыки подобного разложения квадратного трёхчлена на множители, которые в достаточно большом числе случаев помогут сократить время решения квадратных уравнений или неравенств и упрощение выражений с алгебраическими дробями, содержащих квадратные трёхчлены, особенно в заданиях с кратким ответом.

РАЗЛОЖИТЕ на МНОЖИТЕЛИ (№№ 1-54):

Разложение квадратного трёхчлена на множители доступным языком для учащихся, которые готовятся к ОГЭ и ЕГЭ

Не забудьте подписаться на канал Хакнем Школа и хэштег #хакнем_математика

Автор: #себихов_александр 71 год, много лет проработал конструктором-технологом микроэлектронных приборов и узлов в одном из НИИ г. Саратова, затем преподавателем математики и физики.

Читайте наш канал в телеграм - по этой ссылке

Другие статьи автора:

Разложение квадратного трёхчлена на множители доступным языком для учащихся, которые готовятся к ОГЭ и ЕГЭ

Если у вас есть познавательный материал, тёплые воспоминания и интересные истории из школьной жизни, которые вы хотели бы опубликовать в нашем канале, или вы просто хотите стать автором канала, напишите нам об этом 👉 story@haknem.com

Разложение квадратного трёхчлена на множители доступным языком для учащихся, которые готовятся к ОГЭ и ЕГЭ