Олимпиадная задача 14 (Раскраски)

В одной из предыдущих задач, мы сталкивались с раскрасками, но там мы раскрашивали клетки доски. В этот раз мы будем иметь дело с раскрашенными числами.

Условие:
Все натуральные числа, большие единицы, раскрасили в два цвета — синий и красный — так, что сумма любых двух синих (в том числе одинаковых) — синяя, а произведение любых двух красных (в том числе одинаковых) — красное. Известно, что при раскрашивании были использованы оба цвета и что число 1024 покрасили в синий цвет. Какого цвета при этом могло оказаться число 2019? Приведите пример такой раскраски.

Идея:
Попробовать однозначно определиться с одним из цветов.

Решение:

Заметим, что если число b возведенное в некоторую степень синее, то и само число b синее (принцип от противного, произведение красных чисел красное). Так как 1024 это 2 в десятой, то следовательно число 2 — синее. Также заметим, что если число a синего цвета, то любое число na тоже синего цвета (следует из условия задачи a+a+a+...+a – сумма синих чисел синяя). Значит, поскольку 2 синее, то все четные числа также синие.

Предположим, что 2019 синего цвета. Тогда все нечетные числа, начиная с 2019, тоже будут синего цвета. Таким образом, все числа, начиная с 2019, синие. По условию, мы используем оба цвета. Это значит, что какое-то нечетное число k (k<2019) покрашено в красный цвет. Но тогда и любая степень k тоже красная. Так как k>1, то существует степень, которая превосходит 2019. Получается, что она одновременно покрашена и в синий, и в красный цвета, что невозможно. Поэтому 2019 может быть только красного цвета.

Пример раскраски. Покрасим все четные числа в синий цвет, а нечетные — в красный. Легко убедиться, что данная раскраска удовлетворяет условию задачи.

Всем кто дочитал, спасибо за внимание! Удачных вам вычислений!