Олимпиадная задача 19 (Подсчет двумя способами)

Очень показательная задача на подсчет двумя способами (предыдущая задача по теме). Идея очень проста: представить одно и тоже число двумя различными способами.

Условие:
Петя сложил 10 последовательных степеней двойки, начиная с некоторой, а Вася сложил некоторое количество последовательных натуральных чисел, начиная с 1. Могли ли они получить один и тот же результат?
Картинка из интернета
Картинка из интернета

Решение:

Предположим, что такое число существует, тогда оно представимо двумя способами:

Таким образом если такое искомое число существует, то верно следующее равенство:

Нетрудно подобрать такое n для которого 2 в степени n+1 и 1023 это два последовательных числа. Таким образом n=9, а k=1023. То есть

Значит Петя и Вася могли получить одинаковый результат.

Всем кто дочитал, спасибо за внимание! Удачных вам вычислений!