дома нескучно
Как весело и с пользой пережить самоизоляцию

Начертательная геометрия. Занятие 1

10 November 2017

Положение точки в пространстве. Плоскости проекций.

Чертежи геометрических объектов в задачах по начертательной геометрии выполняют в двух или трех проекциях.

Плоскость проекций – двухмерна, а пространство – трехмерно. Невозможно на одной плоскости точно изобразить вид какой-либо объемной детали со всех сторон – спереди, сверху, сбоку. Поэтому эти виды изображают в трех ракурсах, которые называют проекциями.

Самый простой геометрический объект - это точка. Точку никак нельзя измерить – у нее нет ни длины, ни ширины, ни высоты, ни площади, ни объема. И все же – это полноценный геометрический объект – у нее есть точно определенное положение в пространстве, которое определяется координатами.

На рисунке 1 представлена часть пространства, ограниченная тремя взаимно-перпендикулярными плоскостями, которые имеют названия:

· Горизонтальная плоскость проекций, обозначается буквой Н. Можно представить, что это плоскость письменного стола.

· Фронтальная плоскость проекций – V. Эта плоскость расположена вертикально перед наблюдателем (плоскость классной доски).

· Профильная плоскость проекций W, вертикальная плоскость справа от наблюдателя.

Рисунок 1. Точка А в пространственной системе координат.
Рисунок 1. Точка А в пространственной системе координат.

Пересекаясь между собой, плоскости проекций образуют прямые, которые называют координатными осями и обозначают буквами X,Y,Z. Они пересекаются в точке О, начале координат. Назовем этот трехгранный угол условно Моделью пространства.

Точка А занимает определенное место в пространстве (рис. 1), она находится на расстоянии 15 мм от плоскости W, на расстоянии 30 мм от плоскости V, и на расстоянии 42 мм от плоскости Н. Эти расстояния измеряются вдоль осей и являются координатами точки А:

XA = 15;

YA = 30;

ZA = 42.

Эту запись можно сделать короче: А(15,30,42). Как видим, в скобках указывают сначала координату Х, затем Y, затем Z. Проекции точки А на плоскости H, V и W обозначают соответственно А₁, А₂, А₃. Нужно всегда помнить, что точка – одна, а проекции у нее – три.

Чтобы показать положение точки на чертеже, трехмерную модель пространства как бы «разрезают» по оси У и разворачивают на плоскость. (Поэтому на проекционном чертеже получается «две» оси У).

Проекционный чертеж точки А с координатами 15, 30, 42 показан на рисунке 2 и выглядит гораздо проще, чем рисунок, изображающий точку А в трехмерной модели пространства. На горизонтальной плоскости проекций отражаются координаты Х и У,, на фронтально плоскости – координаты Х и Z, на профильной плоскости отражены координаты Z и У.

Рисунок 2. Проекционный чертеж точки А (15, 30, 42)
Рисунок 2. Проекционный чертеж точки А (15, 30, 42)

Точка А находится в той области пространства, где все три координаты положительны. Однако, как известно, пространство бесконечно, и плоскости проекций также бесконечны. На рисунке 3 показано расположение в пространстве и проекционный чертеж точки В, которая лежит ниже горизонтальной плоскости проекций, а значит, координата ZВ имеет отрицательное значение.

Рисунок 3. Положение в пространстве и чертеж точки В(15, 30, -17).
Рисунок 3. Положение в пространстве и чертеж точки В(15, 30, -17).

Координаты точки В следующие:

XВ = 15;

YВ = 30;

ZВ = -17.

Упражнение 1.

На рисунке 4 показан чертеж (эпюр) точек С,D, E, F. Напишите, каким точкам соответствуют указанные координаты:

____(30, 10, -50);

____(20, -65, -40);

____(70, 45, 20);

____(-35, 30, 25).

Самостоятельно постройте на чертеже следующие точки: G(15, 40, 80); K(45, -20, 0); L(0, 40, -10).

Рисунок 4. Задание к упражнению 1.
Рисунок 4. Задание к упражнению 1.