Чемпионат. Решение.

28.09.2017

Условие:

14 команд играют между собой чемпионат – в каждом туре встречаются какие-то 7 пар команд, не игравшие между собой ранее. Докажите, что можно так провести первые 7 туров, что ни одного тура больше сыграть не удастся.

Решение:

Разобьём команды на две группы по 7 команд, например, 1-7 и 8-14. Пусть в первом туре команды играли в таких парах:
I) 1—8, 2—9, 3—10, ... 7—14;
Во каждом следующем туре будем сдвигать команды во второй группе по циклу:
II) 1—9, 2—10, 3—11, ... 7—8;
III) 1—10, 2—11, 3—12, ... 7—9;
...
VII) 1—14, 2—7, 3—8, ... 7—13.

Теперь нужно доказать, почему нельзя провести восьмой тур. Каждая команда уже играла со всеми командами из другой группы. Значит, теперь она может играть только с командами из своей группы, то есть все матчи должны проходить внутри каждой из двух групп. Но в группах нечётное число команд (7), поэтому разбить команды внутри группы на пары для матчей не получится - одной из команд обязательно не достанется партнёра для матча.