Про уравнения Максвелла и пустоту.

"Ух ты, физика!", Часть 23-я, лирическая.

Поговорим про электромагнитные волны. Начнем с уравнений Максвелла.

Существует классический частный случай уравнений Максвелла, который наглядно демонстрирует существование, природу и поведение электромагнитных волн.

И хотя мы с вами знаем о существовании электромагнитных волн из нашей повседневной жизни, будем на время считать, что наше знакомство с "земным" физическим миром начинается с уравнений Максвелла.

Итак,

Уравнения Максвелла в пустоте

В абсолютной кромешной вселенской пустоте.

Постойте! Кто-нибудь наверняка логично скажет, что в пустоте нет ничего.

А раз ничего нет, то и описывать уравнениями нечего. Уравнения - это всего лишь абстрактное описание существующих явлений. Но если это пустота, то нет никаких явлений.

Проверим это!

Уравнения Максвелла для пустоты выглядят так:

Для начала заметим, что у нас получилась офигительная симметрия!

Единицу, деленную на квадрат скорости света, можно превратить просто в единицу, перейдя на другие размерности измерений. Но мы этого делать не будем. Потому, что нам важно все делать в системе СИ.

Что мы видим. Зарядов нет. Соответственно токов тоже нет (течь нечему). Дивергенции электрического и магнитного полей отсутствуют. Потому, что в пустоте нету источников. Правильно?

Второе и четвертое уравнения говорят нам о том, что изменения со временем обоих полей (и электрического, и магнитного) в какой либо точке вызывают появление роторов другого поля.

Ну и что?

Пока ничего особенного. Знаки "-" и "+" говорят лишь о том, в какую сторону направлены роторы.

Произведем преобразование уравнений. (Предварительно вспомнив описание элементарных операций с векторным дифференциальным оператором из нашего учебника) На второе уравнение подействуем векторно векторным оператором "Набла", а четвертое продифференцируем по времени. И после этого подставим второе в четвертое, чтобы исключить вектор В. Получим.

Левую часть уравнения можно упростить. Посмотрите в нашем учебнике или у Фейнмана в его замечательных "Фейнмановских лекциях по физике" операции с векторным оператором "Набла"! Берем оттуда и преобразуем, помня что у нас в пустом пространстве дивергенция Е равна нулю.

Подставляем в уравнение выше и получаем так называемое "волновое уравнение"

Левая часть уравнения называется "Лапласиан" вектора Е. Расписав лапласиан покомпонентно, мы увидим, что "Лапласиан" - достаточно простая скалярная операция.

Но, мне все же представляется, что данное уравнение красивее и проще в операторной форме.

Аналогичным уравнением описывается и поле В. (Предлагаю самостоятельно проделать преобразования и вывести аналогичное волновое уравнение для вектора магнитной индукции В.)

Чем замечательны эти уравнения?

Тем, что это известная форма дифференциальных уравнений. Они называются "волновые уравнения". Аналогичного вида уравнениями описываются все другие виды "волн". Например звуковые.

Математикам давно уже известны стандартные функции, являющиеся решениями волновых уравнений.

Самое замечательное следствие выведенных нами (из уравнений Максвелла для пустоты) волновых уравнений это то, что решением может быть только волна, движущаяся со скоростью с.

Со скоростью света!

Это открыл сам Максвелл. И вычислил скорость С. И она совпала со скоростью света, которую к тому времени уже с достаточно большой точностью определили астрономы.

Вопрос: Как астрономы определили скорость света?

Первому, ответившему на этот вопрос правильно и аргументированно будет вручен приз от нашего генерального спонсора - цифровая ручка.

В качестве бонуса предлагаю цитату из "Фейнмановских лекций по физике" про волны:

" Попытайтесь представить себе, как выглядят сейчас электрические и магнитные поля в нашей аудитории. Прежде всего здесь имеется постоянное магнитное поле; оно возникло от токов внутри нашей Земли, от постоянного земного магнетизма. Затем здесь имеются какие-то нерегулярные, почти статические электрические поля. Они скорей всего созданы электрическими зарядами, появляющимися из-за того, что кто-то ерзает на своем стуле или трется рукавами о стол (словом, в результате трения). Кроме того, здесь есть еще и другие магнитные поля, вызванные переменными токами в электропроводке,— поля, которые меняются с частотой в 50 гц в такт с работой генератора на городской электростанции. Но еще больший интерес представляют электрические и магнитные поля, меняющиеся быстрее. К примеру, там, где свет падает из окна, освещая стены и пол, имеются небольшие колебания электрического и магнитного полей, перемещающиеся за секунду на 300 000 км. По комнате еще распространяются инфракрасные волны, идущие от ваших горячих голов к холодной доске с формулами. Да! Мы еще позабыли об ультрафиолетовом свете, о рентгеновских лучах и о радиоволнах, которые проносятся по комнате.

Через комнату скользят электромагнитные волны, которые несут в себе джазовую музыку. Проносятся и волны, модулированные серией импульсов, представляющих картины событий, которые происходят сейчас в других местах света, или картины воображаемых явлений, происходящих при растворении воображаемого аспирина в воображаемых желудках. Чтобы убедиться в реальности этих волн, достаточно просто включить электронную аппаратуру, которая превращает эти волны в изображения и звуки.

Если мы займемся дальнейшим анализом еще более слабых колебаний, то заметим мельчайшие электромагнитные волны, пришедшие в нашу комнату с огромных расстояний. В ней существуют  мельчайшие  колебания  электрического  поля,  гребни которых отстоят друг от друга примерно на фут, а источник их удален отсюда на миллионы миль. Эти волны передаются на Землю с межпланетной станции Маринер II, которая как раз проходит сейчас где-то мимо Венеры. Ее сигналы несут сводку всей той информации, которую ей удалось ухватить у планеты (информации, полученной от электромагнитных волн, дошедших от Венеры к станции).

И есть здесь еще едва заметные колебания электрических и магнитных полей от волн, возникших в миллиардах световых лет отсюда, в галактиках, находящихся в удаленнейших уголках Вселенной. В том, что это действительно так, убедились, «заполнив комнату проволокой», т. е. соорудив антенны величиной с эту комнату. Так были замечены радиоволны, дошедшие до нас из мест, находящихся за пределами досягаемости крупнейших оптических телескопов. Кстати, даже эти оптические телескопы всего лишь простые собиратели электромагнитных волн. А то, что мы называем звездами, лишь заключения — заключения, выведенные из единственной физической реальности, которую мы до сих пор от них получали, из тщательного изучения бесконечно сложных волновых движений электрических и магнитных  полей,  достигающих  Земли.

В аудитории имеются, конечно, еще другие разные поля — от молний, вспыхивающих где-то вдалеке отсюда, от заряженных частиц в космических лучах в тот момент, когда они проносятся сквозь комнату, и еще поля и еще... Представляете, какая сложная штука все эти электрические поля в пространстве вокруг нас! И все они подчиняются трехмерному волновому уравнению. "