Комплексные числа простым языком

15.05.2018

Все из нас учились в школе и изучали математику, для кого-то это был скучный предмет и на уроках вы пускали бумажные самолетики (наверное), а для кого-то математика занимала не последнее место в списке любимых школьных предметов. Так вот, на протяжении с 1- 4 класс вы изучали арифметику(азы математики),с 5-9 алгебру и геометрию(что-то уже покруче), и дальше с 10-11 начала матана(математического анализа) и во всех этих школьных периодах разговор начинался, на уроках математики, с понятия числа. В 1-4 класс вы познакомились с натуральными числами это: 1,2,3,4,...(нужны при счёт, мы их чаще всего применяем в повседневной жизни), потом познакомились с целыми числами(здесь грамотнее сказать «с множество целых чисел» и оно обозначается буквой Z), это числа: -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,… и т.д. в обе стороны, здесь нужно заметить, что множество целых чисел содержит в себе как натуральный числа(N), нуль(да, нуль, мне так сказать близко написание и произношение с буквой «у», а не с «о», также как и с тоннелеме или туннелем это равноправные орфографические варианты), и отрицательные числа, они появляются когда у нас не хватка чего-либо или у нас убыток чего-нибудь, например минус 120 рублей на телефонном счете.

После окончания начальной(1-4 классы) школы вы переходите в средние классы(5-9 классы) и здесь вас уже знакомят с понятием дроби и определяют понятие рациональных и иррациональных чисел, где рациональные(обозначение Q) это часть от чего либо, то есть, это число у которого имеется целая и дробная часть, например 1/3, 2/3, 6/2 , эти числа появляются при решении уравнений или задач на нахождении части, да и в реальной жизни они нам тоже необходимы. Иррациональные(от лат.irratio-«неразумный»), числа(им правда обозначения не дают как множеству самостоятельному, потому что оно является частью множества вещественных чисел R),которые нельзя представить в виде дроби , например 2, для него можно указать только примерное значение: ≈1,4…(кстати, если вы хотите научится вычислять квадратный корень любого числа, то в конце статьи вы можете найти все необходимые ссылки.)Немного погодя вас знакомят с заключительным множеством чисел, называемым, действительным(или вещественным), оно объединяет все предыдущие множества(натурально,целое, рациональное и иррациональное), здесь нужно отметить, что именно иррациональные числа позволили создать отдельное, объединяющее множество R.

После этого у вас должна сложится следующая картина в иерархии числовых множеств:

Иерархия чисел
Иерархия чисел

До зеленой области(на картинке) всё понятно, но что можно сказать на счёт синей области, в которую входят все остальные множества. Эта область и называется, интересным названием— множеством комплЕксных чисел, здесь буква «е» сделана заглавной для того, чтобы можно было отличить обычное произношение слова от слова которое употребляют математики(да и звучит это слово более красиво что ли). Понятно, что кто-то мог только в первый раз услышать это слово, некоторые уже знакомы с ним, но многие могут задать вопрос: «Как эти числа появились и зачем нужны они, ведь уже и так достаточно понапридумывали разных чисел,не хватает что ли?» Разберемся по порядку. Для начала ответим на первую часть вопроса: «Как появились эти числа?» Что бы ответить на этот вопрос нужно разобрать одно интересное, но на первый взгляд элементарное уравнение:

x²+1=0, найдем корни

x²= -1,здесь уже могут некоторые удивится, как может квадрат числа быть отрицательным? Да, такие решения уравнений могут встречаться и они не редкость. Вот корни уравнения:

x1=-√(-1); x2=√(-1). Математика здесь подошла уже не к таким уж очевидным вещам, но я хочу сделать замечание для тех кто говорит, что такие абстракции это бред больной фантазии математиков. Это не бред, потому что в математике существуют числа которые не выразишь, каким-либо числом, можно сделать запись, выражающую, это число например знакомое уже вам √2 или число π(≈3,14), это число нельзя записать с помощью конечного числа знаков, оно бесконечно, но это не означает, что его не существует, кстати поэтом математики заменяют числа на буквы, потому что если это число большое и его нельзя записать конечным числом знаков. То же самое дело обстоит и с комплексными числами, если у нас получаются числа, которые нельзя записать в вещественном виде, то это не означает, что таких чисел не бывает, это говорит лишь о том, что в данной системе счисления(и представления чисел) не возможно представить данные числа в обычном, привычном нам виде, не прибегая к использованию специальных обозначений. И да, комплексные числа это не допущение, это логическое развитие(продолжение) математических идей.

Следующая часть вопроса, «где они применяются?»

Электротехника например. Для расчета цепей переменного тока поголовно используются комплексные числа. Это очень удобно, представлять реактивные токи по мнимой оси, а активные по действительной. Расчеты сводятся по сути к сложению, умножению, вычитанию и делению комплексных чисел. А без них пришлось бы решать интегрально-дифференциальные уравнения, что во много раз сложнее. А это тоже трудная задача. Если ещё нужен пример, то вот например, в квантовой механике тоже используются комплексные числа, для вычисления волновой функции, которая выглядит вот так(☺):

волновая(пси) функция
волновая(пси) функция

Теперь разберемся с определением и видом комплексных чисел:

Определение.
Ко́мпле́ксные числа — числа вида a+bi , где a и b— вещественные числа, i— мнимая единица , то есть число, для которого выполняется равенство:
i²=— 1(ничего не напоминает? Да это квадрат нашего x -са, уравнения— x²+1=0).
Мни́мая едини́ца комплексное число, квадрат которого равен −1 (минус единице), то есть i²=—1.

Вообще общий вид комплексного числа такой: z=a+bi, где число a называется действительной частью, а число b его мнимой частью.

Далее разберемся с тем, какие арифметические действия можно производить над комплексными числами.

Вообще говоря, действия над комплексными числами определены так, чтобы над операциями выполнялись все три основных свойства :

  • Коммутативность(переместительное свойство)— это когда a+b=b+a;
  • Ассоциативность(сочетательное свойство)— это когда a+(b+c)=c+(a+b);
  • Дистрибутивность (распределительное свойство)— это когда a(b+c)=ab+ac.

Ну например:

2+3i=a, 5+5i=b; Найти a+b=? Решение:

2+3i+5+5i=7+8i. И так со всеми любыми другими операциями: умножением, делением, вычитанием, возведением в степень…

Комплексные числа в математике также как и обычные числа могут быть изображены графически, мы помни как в школе мы рисовали числовую ось и на ней обозначали числа, это выглядело как-то, так:

Числовая ось
Числовая ось

но комплексные числа на то и комплексные, потому что состоят из двух частей: действительной и мнимой, поэтому представление комплексных чисел нуждалось в модификации числовой оси, конкретно — требовалось добавить ось, которая была бы перпендикулярна нашей изначальной оси (теперь, называемой, действительной, обозначение Re), назвав её мнимой(обозначение Im), а саму систему изображения чисел — комплексной плоскостью. Выглядит она так:

Комплексная плоскость
Комплексная плоскость

По рисунку видно, что таким образом комплексное число задается с помощью значений «икса (x)» и «игрека (y)», которые задают наше комплексное число z.

Подводя итог, скажу, что помимо комплексных чисел были придуманы еще более фантастические числа,называемые гиперкомплексными, это: кватернионы, октонионы(O) и седенионы, но это уже слишком сложная тема, чтоб на пальца её рассказать, поэтом изучайте математику и в скором времени эти замудренные слова покажутся вам чем-то простым.

Вот собственно это всё, что я хотел тебе рассказать, так сказать ты, прочитав эту статью, получишь базовые знания о комплексном счислении. Я хотел ещё также порекомендовать книги, которые также простыми словами объясняют математические идеи:

  • Гусев И. — Увлекательная наука. Математика.
  • Крилли Т. — 50 идей математики, о которых нужно знать.
  • Н.Н.Андреев,С.П.Коновалов — Математическая составляющая.

Ссылки:

Извлечение квадратных корней столбиком;

Гиперкомплексные числа;

Подписывайтесь на наш канал и вступайте в группу ВКонтакте.