Математические софизмы: «Из теории вероятностей»

14 August 2018
A full set of statistics will be available when the publication has over 100 views.

Это последняя, 8-ая часть математических софизмов. Сегодня уделим внимание одному из самых трудных в понимании разделов математики, такому, как теория вероятностей(далее теовер). Начнём!

Условие

Один известный путешественником по Африке Франциско Гальтон всесторонне образованный человеком, изучавший антропологию, метеорологию, географию, археологию и так далее. В одной компании заинтересовались следующим вопросом. Три монеты бросаются несколько раз. Какой процент всех бросаний составляют те случаи, при которых у всех монет выпадет орел или решетка. Один из присутствующих (А) рассуждает так: « В сущности, все равно, бросать ли в каждом случае все три монеты одновременно или одну за другой. Поэтому для большей наглядности предположим, что в каждом отдельном случае монеты бросаются одна за другой. Я бросаю первую: выпадет либо орел, либо решетка. Теперь бросаю вторую. Как велика вероятность, что вторая монета упадет той же стороной, что и первая? Понятно, что она равна 1/2. Теперь бросаю третью монету: вероятность того, что она упадет той же стороной, что и первые две монеты, равна половине вероятности выпадения этих двух монет одной и той же стороной, то есть половине от половины. Следовательно, вероятность того, что все три монеты выпадут одной и той же стороной, равна, 1/4, то есть возможно, что из всех бросаний 25% придется на тот, случай, который нас интересует».

«Я не согласен», – отвечает второй (B): «Ваше предположение, что бросание монет одну за другой равносильно одновременному, невернó и оно привело вас к ложному заключению. Можно убедиться в неправильности полученного вами результата следующим образом. Я бросаю одновременно все три монеты; понятно, что самое меньшее две монеты упадут одной и той же стороной. Вероятность того, что и третья монета упадет той же стороной, очевидно, равна 1/2. Следовательно, вероятность интересующего на случая равна 1/2, то сеть из всех бросаний 50% придется на этот случай».

Встает вопрос, кто прав: A или B?

Решение

Для того чтобы понять кто прав, нам нужно составить математическую модель, данной проблемы и проанализировать её. Для этого нарисуем дерево исходов:

Дерево исходов
Дерево исходов

Такое дерево отображает все возможные результаты бросания монет. Кстати, вы могли заметить, что мы взяли подход присутствующего A, т.е. мы рассматриваем эти события поочередно, это связано с тем о чем мы скажем ниже. На этом дереве нас интересуют левая боковая линия исходов и правая боковая линия, т.к. именно они удовлетворяют нашему событию: выпадение трёх одинаковых сторон. Теперь посчитаем количество возможных исходов вообще. Оно равно количеству возможных исходов, получающихся, на третьем бросании, т.е. 8-ми. Теперь как узнать вероятность нашего события: выпадение трёх одинаковых сторон? Для этого достаточно вспомнить определение вероятности: вероятность P(от англ.probability «вероятность») события A это отношение количества событий m удовлетворяющих событию A ко всем возможным событиям n:

P(A)=m/n

Для нашего случая m=2, а n=8 следовательно:

P(A)=2/8=1/4=0,25|•100%=25%.

Получается, что отвечающий A был прав сказав, что вероятность равна 1/4 или 25% этого события от всех возможных. Тогда почему был не прав ответчик B? Давайте рассуждать так же как и ответчик B. Нарисуем таблицу которая отображает метод решения ответчика B, т.е. бросание 3-х монет одновременно:

Таблица возможных исходов монет при одновременном бросании
Таблица возможных исходов монет при одновременном бросании

На этой таблице нас интересует только те варианты, при которых монеты имеют одинаковую сторону: это 2-ая строка и последняя 5-ая, в них выпали такие комбинации: ООО и РРР. Теперь посчитаем количество всех возможных исходов, и их снова будет 8. И тогда вероятность снова окажется равной: 1/4. Получается, что ответчик B допустил ошибку в своих рассуждениях, а именно в своем утверждении о том, что вероятность выпадения монет с одинаковыми сторонами, равна 1/2.

Отвечая на вопрос: кто же был прав, можно утвердительно ответить: ответчик A.

Вообще, для того чтобы разобраться в теовер, нужно главное понять: природу события.

На этом цикл: математические софизмы, подходит к концу, в дальнейшем на нашем канале будут выходить подобные статьи, модно сказать, что это был только 1-ый сезон, в дальнейшем будут и другие. До скорых встреч.

Оцените эту статью 👍(если вам понравилось) или 👎, если вам не понравилось. Поделитесь ею с друзьями! И как всегда: будьте в курсе точных наук!