Числа, которые изменили мир. Число Пи

В прошлом выпуске я рассказал о числе Эйлера - одно из важнейших чисел в математике. Но то число, о котором сегодня пойдет речь, обладает большой историей и огромной значимостью в нашем мире.

Немного истории

Число Пи начинает свою историю с самых древних времен. Еще в третьем тысячелетии до нашей эры в древней Греции, Египте, Вавилоне люди занимающиеся геометрией обнаружили, что длина веревки, обернутой вокруг колеса, примерно в три раза больше диаметра этого колеса. Причем такая пропорция соблюдалась для любых окружностей. Уже тогда люди осознавали важность этой величины, ведь ее можно было с большой пользой использовать для инженерных расчетов. С тех времен люди начали заниматься поиском точного значения отношения длины окружности к ее диаметру.

Первое упоминание об этой цифре, отличной от 3-х, встречается еще в 1900 году до нашей эры. На глиняной табличке из Суз было указано значение в 25/8. Но все эти значения были скорее эмпирическими, что не могло дать хорошей точности. Первым математическим методом, был метод предложенный Архимедом. Он предлагал давать верхнюю и нижнюю оценку этому числу используя вписанные и описанные многоугольники.

Это так называемый метод исчерпывания, он позволял упростить задачу работая не с окружностью а с многогранниками. Архимед смог получить двустороннюю оценку этого числа:

Полученной таким образом оценки для пи было вполне достаточно, чтобы его можно было использовать для инженерии.

Это Математический анализ

Следующий этап в нахождении числа пи начался в эру развития математического анализа, а именно в отыскании сумм бесконечных рядов. Одним из первых таких рядов был ряд Мадхавы — Лейбница:

Ряд и скорость его сходимости
Ряд и скорость его сходимости

Это сходящийся ряд и сходится он к числу пи, но весьма медленно. Поэтому возникла необходимость в отыскании новых рядов, которые могли бы дать лучшие показатели сходимости.

Было найдено много различных формул сумм рядов, которые предлагали более хорошие показатели сходимости. Но у произведения бесконечного ряда этот показатель еще лучше. Так известным результатом стала формула Валлиса:

При изучении рядов, математики обнаружили, что некоторые функции тоже могут быть разложены в ряд (ряд Тейлора). По этому возникло предположение, что число пи можно представить в тождественной форме, через различные функции.

Одна из форм тождественного представления.
Одна из форм тождественного представления.

Сейчас благодаря огромным вычислительным способностям современных компьютеров, число пи известно с точностью до 10 триллионов знаков после запятой.

Вообще, это отношение получило свое название далеко не сразу. Впервые название пи ему было дано в 1706 британским математиком Джонсом Уильямом. Ну а основательно греческая буква пи закрепилась за этим отношением, когда знакомый нам по предыдущей статье Леонард Эйлер использовал его в своих трудах.

Почему число пи так важно?

Я думаю, что говорить о важности пи в прикладных делах смысла нету. Ведь и так все прекрасно понимают, какую роль оно играет в инженерных расчетах.

С помощью этого числа определяют углы на окружности. Мы знаем, что пол оборота - это пи радиан, а полный - 2 пи. Но почем так? Для начала нам нужно понять, что такое радиан. За 1 радиан был принят угол, который образуется, если вдоль окружности отложить дугу, длиной равной радиусу этой окружности. Ну и из определения числа пи следует, что во всю окружность может уместиться только 2 пи радиусов этой окружности. Это более естественный способ определения углов, чем разбиение его на градусы.

Число пи наблюдается во многих разделах физики. Начиная от теории колебаний, так как с помощью него можно легко описывать тригонометрические функции. Заканчивая квантовой механикой, где число пи встречается в приведенной постоянной Планка. Связанно это с тем, что вещество на квантовом уровне ведет себя как волна.

И так далее, число пи вылазит повсюду в физике.

Так же в математике. Число пи является неотъемлемой частью комплексного анализа, появляется в преобразовании Фурье . Продолжать этот список можно очень долго. Я уверен, что назвал лишь малую часть из того, где мы можем встретить это число.

А где вы в своей жизни встречаетесь с числом пи? Оставляйте свои ответы в комментариях. Не забывайте ставить пальцы вверх и делитесь этой статьей со своими друзьями! Всего вам доброго и до скорых встреч! :)