Сага о треугольниках.

9 March 2019
Сага о треугольниках.

Три точки соединенные отрезками. Как просто и знакомо с детства... Но почему тогда треугольникам уделяется так много внимания? Изучать их начали еще в древности, задолго до Пифагора. Египтяне использовали их при строительстве своих пирамид. Они легли в основу тригонометрии. Они используются в механике и физике, строительстве и трехмерной графике. Давайте и мы поговорим о треугольниках.

Но начать надо немного издалека, что бы было понятнее и нагляднее. Нет, не с того, что геометрия возникла как наука об измерении земельных участков. Начнем мы с пространства не имеющего измерений - нульмерного пространства. Точка. Она не имеет ни размеров, ни формы. Вне пространств с большим числом измерений про точку нельзя сказать ничего, кроме того, что она есть. Ни где она находится, ни как она выглядит.

Теперь добавим одно измерение, пусть это будет, например, длина. Теперь наше пространство, одномерное, можно представить прямой. Мы можем поместить на прямой точку, но сказать что либо о ее местонахождении не сможем. Где то на прямой, и это все. Прямая бесконечна. Но точка на прямой делит ее две части, или два луча. Луч уже имеет не только измерение, но и направление. Если мы теперь поместим на прямую еще одну точку, то мы сможем сказать, на каком из двух лучей она оказалась. Более того, мы сможем сказать, насколько далеко от первой точки она находится. То есть, у нас появилась координата второй точки. А первая точка не только определила два луча, но и стала началом координат.

Сага о треугольниках.

Кроме того, две точки на прямой определяют отрезок. И этот отрезок имеет длину, которая не зависит от того, где именно точки находятся на прямой. Важно лишь расстояние между точками.

Сага о треугольниках.

Но и это еще не все. Почему именно прямая? Это может быть любая кривая, причем даже не обязательно плоская. Мы не можем говорить о толщине прямой или кривой, у нас только одно измерение. И в пределах этого измерения изгибы, и даже изломы, будут совершенно не видимы.

Добавим еще одно измерение. Мы получили хорошо знакомый нам плоский мир. Теперь это не прямая, а плоскость. Точно так же, про одну точку на плоскости мы не можем сказать ничего, кроме того, что она где то на плоскости. Плоскость бесконечна. Две точки на плоскости определяют прямую лежащую в этой плоскости. Причем эта прямая будет единственной, в классической геометрии. И они же задают отрезок этой прямой.

А если взять три точки? Уже близко к треугольнику. Если мы соединим эти точки, то получим треугольник. Тот самый, с которого и начался наш рассказ. Но кроме треугольника три точки задают и три прямые, которые пересекаясь и создают треугольник. И три отрезка этих прямых.

Сага о треугольниках.

Как всегда, это еще не все. Три точки задают систему координат. Причем совершенно не важно, что угол между координатными осями будет не равен 90 градусам. Система координат не обязана быть декартовой, то есть, прямоугольной.

Сага о треугольниках.

Координатные оси, обычно, обозначаются X и Y. Для примера я показал еще оду точку и то, как определяются ее координаты нашей системе координат. В дальнейшем я не буду рисовать саму плоскость, что бы не загромождать рисунки. Казалось бы, мы добрались до треугольника, пора и остановиться. Однако, останавливаться не будем.

Поместим в наш плоский мир произвольную кривую (без самопересечений) и вспомним, что она является одномерным пространством внутри себя самой. Далеко не каждую кривую можно выразить формулой, но работать надо уметь с любыми кривыми. Простейшим способом будет замена кривой на ломаную, состоящую из отрезков прямых.

Сага о треугольниках.

Видно не очень хорошо, Дзен по своему усмотрению масштабирует рисунки. Гладкую зеленую кривую я заменил отрезками прямых, черного цвета. Это называется аппроксимацией. Аппроксимацию аналитическими кривыми я не рассматриваю, так как речь немного о другом. Таким образом, любую плоскую кривую можно аппроксимировать отрезками прямых. Причем, чем короче отрезки, тем точнее аппроксимация. Запомните эти важные моменты, мы к ним еще вернемся.

А если точек на плоскости больше трех? Если мы соединим их отрезками, то получим многоугольники. При этом каждый такой многоугольник можно заменить набором треугольников. Предполагается, что многоугольник это не только контур, но и все пространство внутри контура.

Сага о треугольниках.

В нашем случае многоугольник можно составить из 5 треугольников. Вот мы и добрались до очень важной способности треугольников - ими можно точно аппроксимировать многоугольники.

Собственно говоря, именно эта особенность и легла в основу геометрии. Любой земельный надел можно представить как набор треугольников, что позволит легко вычислить его площадь. С этого и начался интерес к треугольникам.

Однако, с кругом или эллипсом все несколько сложнее, тут точной аппроксимации уже не выйдет. Но мы же можем заметить окружность, описывающую круг, на ломаную линию. А получившийся многоугольник аппроксимировать треугольниками.

Добавим еще одно измерение и получим трехмерный мир в котором мы живем. Теперь три точки пространства не просто лежат на плоскости, они ее определяют. Причем эта плоскость единственная, в классической геометрии. А трехмерные фигуры образованы не пересечением прямых, а пересечением плоскостей. Мы не можем аппроксимировать треугольниками трехмерные фигуры, но можем аппроксимировать ими поверхности таких фигур. Так же, как отрезками контуры плоских фигур.

Иллюстрация с сайта Studref
Иллюстрация с сайта Studref

Художник из меня плохой, поэтому я воспользовался готовой иллюстрацией. Вот мы и узнали, почему в трехмерной машинной графике так уважают треугольники. Кстати, три плоскости в трехмерном пространстве задают систему координат. Точно так же, как две прямые в двумерном. Если надо аппроксимировать не поверхность, а саму фигуру, то нужно воспользоваться треугольной пирамидой.

Сага о треугольниках.

Такая аппроксимация позволит использовать численные методы для решения задач с трехмерными фигурами, которые нельзя описать аналитически.

Плоские фигуры, включая земельные участки, поверхности трехмерных фигур. Это не мало, но треугольники этим не ограничились. Они создали тригонометрию. Как им это удалось?

Если немного перефразировать известную фразу, то можно сказать, что из всех треугольников для нас важнейшими являются прямоугольные. Им посвящена известная теорема Пифагора. В современной интерпретации она звучит так - квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Сага о треугольниках.

Для прямоугольного треугольника очень легко вычислить площадь. Она равна половине площади прямоугольника образованного катетами a и b. Все хорошо, если нам доступны все три вершины треугольника. А если катет а это высота дерева, которую надо измерить? Мы можем измерить катет b, но гипотенузу с измерить не получится, так как до вершины дерева не добраться. Это классический пример приводимый во многих учебниках. Решить задачу нам поможет тригонометрия.

Сага о треугольниках.

Все просто, отношение противолежащего углу катета к гипотенузе назвали синусом. А отношение прилежащего катета к гипотенузе назвали косинусом. Теперь мы можем измерить катет b и угол α. Найти в таблице значение косинуса измеренного угла и узнать длину гипотенузы. А дальше вычислить высоту дерева, катет а, по теореме Пифагора. Но это немного утомительно, поэтому ввели понятия тангенса и котангенса.

Сага о треугольниках.

Здесь уже нет гипотенузы, только катеты. Теперь высоту дерева можно вычислить измерив катет b и найдя в таблице значение тангенса или котангенса измеренного угла. Кроме синуса, косинуса, тангенса и котангенса, позволяющих получить величину отношения сторон по углу, существуют арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс, которые позволяют получить угол по отношению сторон. Не буду приводить все формулы, проиллюстрирую это на примере арксинуса.

Сага о треугольниках.

Это основа тригонометрии. Я не буду рассказывать об областях определения и областях значений этих тригонометрических функций. Как не буду рассказывать о тригонометрии, как науке. Я показал, как треугольники привели к ее появлению.

Пользу и практическое применение тригонометрии и прямоугольных треугольников я проиллюстрирую задачей по топографии или военному делу. В данном случае это одно и тоже.

Сага о треугольниках.

Предположим, нам надо измерить высоту дерева расположенного на возвышенности неизвестной высоты. Причем мы не можем добраться ни до дерева, ни до возвышенности. И расстояние до них тоже не известно. На рисунке я нарисовал реку, которая находится между человеком и деревом. Как быть? Все довольно просто, хотя посчитать придется не мало. И будут нужны некоторые топографические приспособления. Но если их нет, хватит обычного школьного транспортира, линейки и рулетки.

Сначала мы определяем направление на дерево, это из точки а в точку с. Затем, мы определяем направление на точку b, это вспомогательная точка для наших измерений. Причем угол между направлением на дерево и направлением на вспомогательную точку должен быть прямым. Теперь мы перемещаемся в точку b одновременно измеряя расстояние от точки а до точки b. Если посмотреть внимательно, это один из катетов прямоугольного треугольника abc. Теперь нужно измерить угол между направлением из точки b не дерево и направлением из точки b на точку а. Теперь у нас есть угол между гипотенузой и катетом и длина катета. Осталось найти в таблице тангенс, или котангенс, этого угла и мы сможем найти катет ас. То есть, расстояние от точки а, места измерения, где человек находился изначально, до проекции дерева на горизонтальную плоскость, где стоит человек. Причем нам не важна, в определенных пределах, конечно, высота точки b относительно точки а.

Дальше уже проще. Измерив угол между горизонталью и направлением на точку d, и зная расстояние ас, мы можем найти высоту возвышенности. Проделав тоже самое для вершины дерева мы получим высоту вершины. Осталось вычесть из высоты вершины высоту возвышенности и мы получим высоту дерева. Как видите, казавшаяся такой сложной задача решается довольно просто. Благодаря прямоугольным треугольникам и тригонометрии.

Думаете, что этот пример очень далек от ваших повседневных дел? Возможно. Но подобного рода задачи нужно решать не только топографам или военным, но и строителям, инженерам, специалистам по машинной графике, и многим другим. И не столь важно, что не всегда это измерения на местности. Решение с помощью тригонометрии роднит всех.

Продолжу примеры из реального мира. Вы наверное замечали, что многие конструкции состоят из треугольников? Башенные краны, мачты, строительные леса, опоры, и так далее. Дело в том, что треугольник это жесткая фигура. Даже если мы соединим стороны треугольника с помощью шарниров у нас не получится деформировать треугольник, то есть, изменить его форму и размеры, прикладывая к нему силу в любой точке и любом направлении. Конечно, пока не начнет деформироваться материал, из которого треугольник изготовлен. При этом прямоугольник деформируется легко. Это замечал каждый, кто изготавливал оконную, или иную, раму из дерева. Без надежной фиксации в углах такую раму легко превратить из прямоугольника в параллелограмм. Мы обошлись без математики, но получили очень большую пользу применяя треугольники, не обязательно прямоугольные, в наших конструкциях. А если математику использовать, то будет видно, что применение треугольников позволяет распределить нагрузку и снизить требования к прочности применяемых материалов.

Давайте вернемся в мир науки. Помните, я говорил про аппроксимацию кривой отрезками? Довольно часто требуется посчитать площадь под кривой. В этом поможет интеграл, но что делать, если у нас нет формулы описывающей кривую?

Сага о треугольниках.

Пусть отрезок АВ это часть ломаной аппроксимирующей нашу кривую. Собственно, тут уже понятно, что можно использовать интегрирование или формулу для площади трапеции. Потом останется суммировать получившиеся площади и мы получим требуемый результат. Но давайте представим, что мы не знаем про интегралы и забыли формулу площади трапеции. Если провести из точки А прямую параллельную оси Х, то мы получим точку С. Если посмотреть внимательно, то мы узнаем прямоугольный треугольник. Его площадь сосчитать не сложно, даже тригонометрия не потребуется. Площадь оставшегося прямоугольника тоже не создаст затруднений.

Из курса школьного курса физики некоторые смогут вспомнить параллелограмм сил

Сага о треугольниках.

По другому это называется сложением векторов. Здесь сила (вектор) F это равнодействующая двух сил F1 и F2. Внимательные читатели уже заметили здесь два треугольника. Поскольку эти треугольники не прямоугольные, не получится напрямую применить известные нам тригонометрические функции. И тут нам на помощь приходит теорема синусов

Сага о треугольниках.

Здесь R это радиус описанной вокруг треугольника окружности. И теорема косинусов

Сага о треугольниках.

Стоит отметить, что векторы очень широко применяются в физике. Причем не только в механике. Поэтому тригонометрические функции можно увидеть повсеместно и в физических формулах, и в электротехнике, и в электронике. А значит, везде используются треугольники.

Пожалуй, я вас уже утомил долгим рассказом и математикой, хоть и старался использовать ее минимально. Зато теперь понятно, почему в математике треугольникам уделяется столько внимания. И почему они в нашей жизни встречаются повсеместно. Это не говоря уже о том, что есть музыкальный инструмент - треугольник. Да и в человеческих отношениях без треугольников не обходится.

Поистине, треугольник многогранен и неисчерпаем. И, по моему, вполне достоин стать героем саги или поэмы. Я лишь вскользь коснулся многих связанных с треугольниками вопросов. И, надеюсь, разбудил в вас интерес к науке вообще, и к математике, в частности.