Почему математика не решение всех проблем

6 November 2018

А про то, почему ученые очень любят все усложнять можно прочитать здесь.

Математические модели

Здравствуйте, читатели. Сегодня я попытаюсь показать Вам, что происходит в среде естественных наук и, в частности, в физике, в настоящее время. А именно, я расскажу, почему сейчас меняются цели математики и подходы к решению проблем в этой науке.

Что есть математика? Говорят - царица наук. Но почему, кто присвоил ей такой статус, обделив и физику, и историю, и даже географию? Ну хорошо, кто сказал эту фразу - известно - Карл Фридрих Гаусс. Но по какому поводу? Как он считал (а он был великим математиком - почти в любом разделе математики есть что-то, что он доказал или сформулировал) - математика хороша тем, что является независимой от материального и практического. То есть новое открытие может не иметь никакого практического применения, а быть сделанным просто так, из любопытства.

На самом деле, до недавнего времени (века до двадцатого, может быть), так и было. Естественные науки: физика, химия (даже география) шли за математикой - за появлением нового раздела алгебры или математического анализа - теории групп, теории чисел, методов интегрального и дифференциального исчисления; шло развитие данного раздела (теории) на практике. Усложнение математики вело за собой усложнение физики, но не наоборот. То есть мир пытались описать с помощью математических моделей, и они даже хорошо работали в некоторых конкретных случаях - например, в аналитической механике или органической химии.

Почему математика не решение всех проблем

(Внимание, сейчас будет абзац моего личного мнения, оно может отличаться от Вашего и даже от общепринятого, так что будьте внимательны!) Так, а что мы видим сейчас? А вот что - вдруг модели в физике начали вести себя странно. Вдруг стало ясно, что математика не может объяснить всего, что происходит в мире. Вот пример: считаете ли Вы, что Ваша жизнь заранее определена, то есть всё, что с Вами произойдёт - предопределено судьбой или ещё чем-то? Не знаю, лично мне кажется, что мы выбираем, какая будет наша судьба, что нет никакого предначертания свыше. Однако, такое предположение идёт вразрез с физикой, например. И действительно, составим математическую модель моей жизни (ну, или Вашей)- определим в ней некоторые переменные, и всё - дальнейшее поведение этой системы (то есть нас) описывается решением некоторых дифференциальных уравнений. Кажется диким. Наш опыт говорит о том,что мы можем, например, поступить не так, как от нас ожидали, просто потому, что мы так решили. Значит теперь науки о жизни, о практической её стороне, обгоняют математику - теперь ей приходится поспевать за остальными науками.

Соотношение неопределённости Гейзенберга

Многие слышали про соотношение неопределённостей, но мало кто знает, что это такое. Попробую растолковать, а также показать, что оно имеет прямое отношение к нашей теме.

Почему математика не решение всех проблем

Итак, на чём строится математика? На том, что есть некоторые соот- ношения, некоторые связи между числами и функциями. Зная эти соотношения, мы можем предсказать поведение какой-либо модели. Но есть одна проблема! По сравнению с математическими моделями, окружающий мир не является чем-то совершенно точным. Подумайте только, мы даже не можем сказать точную длину какого-либо предмета. Действительно, если мы возьмём линейку и будем измерять размеры какого- нибудь стола, чтобы понять, войдёт ли он в нашу комнату, то у нас будет какая-то погрешность, или ошибка, как любят говорить физики. Мало того, что линейка (или рулетка) не есть совершенно точный измерительный прибор, там может быть сбита шкала или ещё что-нибудь, так ещё и измеренная длина будет немного отличаться от настоящей, ведь её значение может не совпадать со шкалой линейки, а значит уже возникает какая-то ошибка.

Но, скажете Вы, давайте уточним шкалу, или вообще будем мерить лазерной линейкой, а также уменьшим цену деления. Тогда, очевидно, погрешность будет уменьшаться. Но уменьшится ли она до нуля? Квантовая физика утверждает, что нет. Это и есть соотношение неопределённостей, котороезаписывается как ∆xpx “ k. Эта запись простыми словами означает - мы не можем измерить физическую величину (в нашем случае длину) совершенно точно, то есть чтобы её погрешность ∆x стала равной нулю. Здесь k - это некоторое число,имеющее большую роль в физике, но об этом, пожалуй, я расскажу как-нибудь в другой раз.

На самом деле, соотношение неопределённостей Гейзенберга таит в себе ещё много интересного. Так, утверждается, что с ростом точности измерения одной величины, всегда будет уменьшаться точность измерения другой. Это очень важно в радиотехнике и теории передачи сигналов. Если Вас это заинтересовало, посмотрите видео здесь, а если Вам интересно соотношение неопределённостей в электротехнике, почитайте эту статью, хотя она достаточно сложна.

Как связано это соотношение с нашей темой? Дело в том, что оно некоторым образом показывает недетерминированность, то есть непредопределённость нашего мира (не знаю, есть ли вообще такое слово). Действительно, если мы спустимся на уровень ультра малых размеров, то там нет ничего точного - там всё можно определить лишь с некоторой степенью вероятности. Именно поэтому нельзя сказать, где в данный момент находится какой-нибудь электрон, мы можем утверждать это лишь с какой-то вероятностью. Эти рассуждения крайне не нравились Эйнштейну, который считал, что любые процессы в физике можно описать математически. Как-то он писал Максу Борну по поводу соотношения неопределённости: «Бог не играет в кости!», на что получил остроумный ответ: «Эйнштейн, не говорите Богу, что делать».

Парадокс Банаха-Тарского

Давайте же, немного успокоившись от того, что наше будущее (может быть) не может быть предсказано математически, перейдём к рассмотрению одного математического парадокса, который противоречит здравому смыслу, а значит говорит о том, что математика не учитывает всё: некоторые вещи так просто с её помощью не описать. Я говорю об известнейшем парадоксе - Банаха-Тарского (это два разных человека - Банах и Тарский).

Этот парадокс на самом деле - строгое математическое рассуждение, строящееся на теории множеств и их мощностей, которое приводит к весьма противоречивому результату - если взять шар, каждая точка поверхности которого имеет какие-то координаты, выражающиеся в действительных числах, то можно «сделать» из этого шара два совершенно таких же, не добавляя и не убавляя чисел. Ясно, что если это верно, то утверждение можно обобщить - из одного шара можно получить сколько угодно шаров - просто сначала из одного получаем два, из одного из новых снова два и так далее.

Вам просто необходимо узнать про этот парадокс поподробнее, ведь он уже прочно вошёл даже в массовую культуру (не могу не вспомнить серию Бендерама из культовой Футурамы, где аппарат, вокруг которого строится повествование, называется «Banach-Tarski Dupla-Shrinker»). Более того, этот парадокс является неизменным аргументом в споре тех математиков, которые не признают аксиому выбора, а значит и существование неизмеримых по Лебегу множеств. Сейчас всё объясню по порядку.

В теории множеств было показано, что натуральных чисел, то есть тех, с помощью которых можно посчитать количество каких-нибудь предметов (- 2, 12, 1000 и так далее) меньше (в некотором смысле), чем всех чисел, то есть включая √ 2, π, дроби - всё, что угодно. Возникает вопрос: как так? Ведь и тех, и других чисел бесконечное число, как одна бесконечность может быть больше другой? На самом деле, может - просто сравнивают бесконечности несколько иначе, чем обычные числа - натуральных чисел меньше, чем действительных (то есть всех), потому что мы не сможем каждому действительному числу присвоить натуральный номер, то есть не сможем «сосчитать» все действительные числа. Здесь Вы можете просто поверить мне, или попробовать доказать, или, если Вам интересно, прочитать об этом здесь - объяснение более-менее понятное.

Так вот, действительных чисел больше, чем натуральных (говорят, что натуральных счётное число,то есть ℵ 0 или алеф нуль, а действи- тельных - несчётное - ℵ1 (алеф один)). Но - и это самое главное здесь- атомов и молекул-то во Вселенной - конечное, или максимум, счётное число! Действительно, вполне можно представить себе, как подсчитать атомы во Вселенной - берём Землю и по порядку считаем все атомы здесь, потом на других планетах, потом во всей галактике и так далее, и так далее. Именно здесь кроется разгадка того, почему парадокс Банаха- Тарского действительно парадокс для нашего мира - он оперирует таким количеством элементов - чисел, которого нет не просто в Солнечной системе, но и во всей Вселенной. Обязательно ознакомтесь с интуитивно понятным доказательством утверждения Банаха-Тарского в этом видео от Vsauce, и вообще возьмите себе на заметку этот канал - он очень интересен.

Заключение

Итак, что же я хотел Вам сказать на протяжении всей этой статьи? Я постарался показать Вам, что наш мир, по крайней мере, в том виде, в каком мы его знаем на данный момент, является куда более сложным, чем любая математическая модель, которую можно составить для попытки его описания. Утверждение, что всё на свете можно описать, если просто знать некоторые закономерности и симметрии, хоть и кажется очень приятным для учёных, занимающихся естественными науками, но, к сожалению или к счастью, показало свою нежизнеспособность. Вселенная не так проста, и ещё много её тайн нам предстоит узнать и постигнуть...

Если вам понравилась данная статья, то поставьте лайк и подпишитесь на канал. Это лучшая благодарность.
Еще больше материала на gutenbergpress.ru
Также подписывайтесь на нашу группу Вконтакте