ЕГЭ по математике - профильный уровень ( 1 часть)

Дорогие читатели! В этой статье я представлю вам некоторые варианты варианты 13 задания по ЕГЭ с решением по математике профильного уровня.

Задача № 1

Дано уравнение √x=√[x]+√{x}x=[x]+{x}, где [a] — целая часть числа а, т.е. наибольшее целое число, не превосходящее а; {a} — дробная часть числа а, т.е. {a} = а - [a].

А) Решите уравнение.

Б) Найдите его корни, принадлежащие отрезку [tgπ12;tg5π12][tgπ12;tg5π12].

Решение.

А) Преобразуем уравнение:

√x=√[x]+√x−[x]x=[x]+x−[x]

Так как левая и правая части уравнения неотрицательны, возведем в квадрат обе части уравнения. Получим :

x=[x]+2√[x]x−[x]2+x−[x]x=[x]+2[x]x−[x]2+x−[x]

2√[x]x−[x]2=02[x]x−[x]2=0

[x]x−[x]^2=0

[x](x−[x])=0

Имеем два случая:

1 случай:

[x]=0[x]=0

т.е. целая часть равна 0. Имеем

0≤x<10≤x<1

2 случай:

x−[x]=0x−[x]=0

x=[x]x=[x]

т.е. число-целое,дробной части нет,x∈Nx∈N

Б) Преобразуем tg:

tg(π/12)=√(1−cos(π/6))/(1+cos(π/6))=√(1−(√3)/2))/(1+(√3)/2)=√(1−(√3)/2)^2/(1−3/4)=(1−(√3)/2/(1/2)=2(1−(√3)/2))≈0.3tg(π/12))≈0.3

tg(5π/12)=√(1−cos(5π/6))/(1+cos(5π/6))=√(1+cos(π/6))/(1−cos(π/6))=(1+(√3)/2/(1/2)=2(1+(√3)/2)≈3.7tg(5π/12)≈3.7

Имеем,что в промежуток 0≤x<10≤x<1 входит [tgπ12;1)[tgπ12;1)

В промежуток x∈Nx∈N входит x=1;2;3

Ответ: A) 0≤x<10≤x<1 или x∈Nx∈N

Б) [tgπ12;1]∪{2;3}

Задача № 2

Дано уравнение 2cosx−3(√2cosx)+2=02cos⁡x−32cos⁡x+2=0.

а) Решите уравнение.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [−7π2;−2π][−7π2;−2π].

Решение данного задания сводится к тому, что мы делаем замену √2cosx =y, а далее решаем как квадратное уравнение. После того, как нашли корни данного уравнения, возвращаемся к прошлой замене и находим корни на указанном промежутке. а) ±(π/3)+2πk; б) −7π/3

Задача № 3

Дано уравнение 625^x-6⋅125^x+9⋅25^x=4⋅25^x-24⋅5^x+36.

а) Решите уравнение.

б) Укажите его корни из отрезка [13;12]
Итак, начнём! 625=25*25, 125=25*5. Поэтому,

25*(5^x)^2-6*25*(5^x)+9*5*(5^x)-4*5*(5^x)+24*(5^x)-36=0;

Делаем замену. Пусть 5^x=t , Тогда

25t^2-150t+45t-20t+24t-36=0; 25t^2-101t-36=0

Далее, решаем квадратное уравнение и возвращаемся к замене.

а) log52; log53

б) log52