Практика. Математика. Пределы (lim). Второй замечательный предел.

Продолжаем цикл наших занятий по пределам. Сегодня у нас пойдёт речь о втором замечательном пределе. С первым они отличаются значительно, можно сказать что совсем ничего общего не имеют, кроме того что оба "замечательные". В плане решения он чуточку сложнее, это нас не должно останавливать, ведь знать и применять его действительно необходимо студентам имеющим дело с матаном. В общем нас сегодня ждёт интересный материал. Приступим...

Запишем, как выглядит второй замечательный предел математически.

Попробуйте пока что определить вид неопределённости которую он раскрывает, чуть позже мы это обговорим. Стоит упомянуть, что буковка "е" это иррациональное число. e=2,718...
Попробуйте пока что определить вид неопределённости которую он раскрывает, чуть позже мы это обговорим. Стоит упомянуть, что буковка "е" это иррациональное число. e=2,718...

Существует другой вид записи.

Вместо "икса" может находиться любая другая функция.
Вместо "икса" может находиться любая другая функция.

Запишем всё в виде равенства.

Так-то лучше.
Так-то лучше.

О следствиях думаю говорить не стоит, их как всегда великое множество. Стоит затронуть, какие всё же неопределённости он раскрывает. Это:

Приступим к решению примеров.

Логично будет рассмотреть второй вид неопределённости для начала (единица в степени бесконечность), так как разобраться с ним легче.

Анализируем. Сравниваем что наш пример с формулой, видим что в числителе у нас двойка вместо единицы, ничего, исправим, просто перекинем её в знаменатель знаменателя. А вот в степени нам нужна та же функция что и в знаменателе.
Анализируем. Сравниваем что наш пример с формулой, видим что в числителе у нас двойка вместо единицы, ничего, исправим, просто перекинем её в знаменатель знаменателя. А вот в степени нам нужна та же функция что и в знаменателе.

Распишем подробно.

Перекинули двойку, дальше наша задача подогнать под формулу, чтобы было похоже поэтому функцию находящуюся в знаменателе записываем в степень, для того чтобы в степени ничего не изменилось, умножим на функцию обратную знаменателю, все эти действия производятся в степени. Экспоненту получили, осталось разобраться со степенью нашей экспоненты, у нас там получается неопределённость, которую мы научились раскрывать (ссылка в конце урока). раскрыв эту неопределённость получили в степени единицу, следовательно ответ равен экспоненте.
Перекинули двойку, дальше наша задача подогнать под формулу, чтобы было похоже поэтому функцию находящуюся в знаменателе записываем в степень, для того чтобы в степени ничего не изменилось, умножим на функцию обратную знаменателю, все эти действия производятся в степени. Экспоненту получили, осталось разобраться со степенью нашей экспоненты, у нас там получается неопределённость, которую мы научились раскрывать (ссылка в конце урока). раскрыв эту неопределённость получили в степени единицу, следовательно ответ равен экспоненте.

При раскрытии неопределённости единицы в степени бесконечность, как правило использую такой ход решения. Желательно просто всё понять и запомнить примерную последовательность действий.

Закрепим на похожем примерчике.

Пятёрку перекинули в знаменатель знаменателя, дальше знаменатель записали в степень и умножили на обратную ей функцию. Получили экспоненту, осталось разобраться со степенью, расписали по формулам сокращённого умножения знаменатель, квадрат в числителе представили в виде произведения, сократили, там появилась неопределённость, мы пропустили этот момент, в итоге получили экспоненту в пятой степени.
Пятёрку перекинули в знаменатель знаменателя, дальше знаменатель записали в степень и умножили на обратную ей функцию. Получили экспоненту, осталось разобраться со степенью, расписали по формулам сокращённого умножения знаменатель, квадрат в числителе представили в виде произведения, сократили, там появилась неопределённость, мы пропустили этот момент, в итоге получили экспоненту в пятой степени.

Алгоритм вполне понятный, придерживаясь, таким образом решили два примера. Рассмотрим другой вид неопределённости.

А вот и она самая, бесконечность на бесконечность в степени бесконечность.
А вот и она самая, бесконечность на бесконечность в степени бесконечность.

Ход решения почти не отличается от стандартного, добавляется маленький дополнительный шаг. Вы правильно заметили. Нам не хватает единицы. Вот её мы сейчас и будем искать.

Таким образом мы выделили единичку, хитро, не правда ли?
Таким образом мы выделили единичку, хитро, не правда ли?

И полное решение будет выглядеть:

Формулу мы использовали другую, вот и трёхэтажные дроби пропали.
Формулу мы использовали другую, вот и трёхэтажные дроби пропали.

Ну что же, пора закрепить весь материал на 100%. Встречайте...

Ух, примерчик не маленький.
Ух, примерчик не маленький.

И решение будет не слабое.

Действовали обычным алгоритмом, добавили и отняли единичку, привели общему знаменателю минус единичку. Добавили в степень обратную функцию, домножили на обратную ей, получили экспоненту в основании. В степени расписали произведение двух функций как произведение пределов этих функций (по свойствам пределов разрешено), вот от одного из пределов мы получили ноль, в ответе в итоге единица.
Действовали обычным алгоритмом, добавили и отняли единичку, привели общему знаменателю минус единичку. Добавили в степень обратную функцию, домножили на обратную ей, получили экспоненту в основании. В степени расписали произведение двух функций как произведение пределов этих функций (по свойствам пределов разрешено), вот от одного из пределов мы получили ноль, в ответе в итоге единица.
Достаточно на сегодня примерчиков, мы и так многое познали. Разобрали ещё два вида неопределённости и методы её устранения. Спасибо за внимание.

Другие темы: