Доброго времени суток. Сегодня будем разбирать интересненький интегральчик с областью интегрирования D. Для тех кто знает как вычислить представленный ниже интеграл и желает свериться, в конце статьи будет полное решение. Запишем:
Подинтегральная функция представлена довольно не простым образом, плюсом ко всему три функции ограничивающие область интегрирования. Стоит заметить что расчёт будет проходить в первой четверти. Учитывая все данные построим область интегрирования:
Всю область пришлось разделить на две части, что за собой влечёт вычисление суммы двойных интегралов, дело не из простых, попробуем всё же... Для начала найдём точки пересечения прямых с окружностью.
Далее расставим пределы интегрирования.
Попробуем вычислить первый интеграл. Само собой без интегрирования по частям не обойтись.
Не лёгкая эта работа из болота тащить бегемота...
В общем вычислять интеграл подобным образом, как вы поняли, не рационально. Томить не будем. Решение будем проводить в полярной системе координат, таким образом всё решение упрощается и сокращается во много раз. Сделаем полную замену всех наших функций, и не забываем про якобиан перехода. Напоминаю что он появляется при переходе от декартовой системы координат к полярной.
Всё найдено, радиус окружности равен двум (при вычислении корня получается плюс-минус, но так как "р" это радиус, отрицательным быть он не может), углы наклона прямых изображённых на начальном рисунке схожи с теми что получили, следовательно действуем верно. Далее переводим подинтегральную функцию и расставляем области интегрирования полученные только что.
Якобиан перехода не забыли, отлично. Расставили пределы интегрирования, есть. Далее начали вычисление, в интеграле по "фи" ничего нет, сразу вынесли как константу разность углов. На следующем этапе предстояло провести подведение под знак дифференциала "р" и добавить единицу. Чтобы не запутаться в константах и функции по которой производится интегрирование (р^2+1), введём замену и вычислим интеграл отдельно.
Замена проведена, константы опущены (пока что), теперь используем очевидную формулу интегрирования по частям и соберём наш интеграл. После разложения по частям всё максимально упростилось. Для подстановки пределов интегрирования осталось ввести лишь обратную замену.
Вычислена часть интеграла. Не забываем что мы оторвали часть констант. Собираем всё вместе проводим небольшие упрощения и записываем полученный ответ.
Подводя итог нельзя не отметить всю простоту, красоту и изящность данного решения. Можно было продолжить решение и в декартовой системе координат, но это не рационально, и невообразимо долго. Если у вас есть часок свободного времени, и есть желание можете попробовать повалить этого "буйвола" в декартовой системе координат, заранее передаю вам моё уважение за проделанную работу и снимаю перед вами шляпу. Спасибо за внимание.
Полное решение:
Другие темы: