Что же случилось с делением?

5 September 2019

Моя статья будет полезна родителям учеников начальной школы, а так же тем, кто хочет разобраться с делением.

Оказывается, не я один столкнулся с проблемой в делении. Школьники от мала до велика, поголовно "разучились" делить. При чём проблему выявляет именно деление "уголком". Немного копнув глубже, я понял две вещи: ученики вообще не понимают действия (даже сложение) и не в курсе закономерностей позиционных систем счисления.

Мне, в общем-то, понятно, кто виноват, и что с этим делать.

Откуда у проблемы ноги растут

Тут надо начать издалека. Чтобы было понятнее, в чём беда, сначала расскажу об арифметических действиях.

В школе проходят бинарные действия над числами. Это такие действия, которые из двух чисел делают третье. (Маленькая ремарка: в математике есть ещё "минус", который можно рассматривать, как унарный, но в школе его как действие не берут.) В математике за 11 лет проходят 7 таких действий: сложение, вычитание, умножение, деление, степень, корень, логарифм. У каждого есть определение (а то и не одно), то есть правило, по которому из двух чисел делают третье. Например, для сложения это может звучать так

Сложение: возьмите однородных предметов столько, сколько показывает первое число, рядом положите таких же предметов столько, сколько показывает второе число. Сосчитайте их все. Получившееся количество и будет результатом сложения.

Грубо говоря, на шайбочках можно определить сложение.

Умножение определяется уже как многократное сложение, поэтому появляются разы и предметы. При записи "5*7" мы имеем 7 раз по 5 предметов. А это, согласитесь, совсем не то, что 5 раз по 7 предметов? 5 тарелок по 7 пирожков или 7 тарелок по 5 пирожков. Мы-то, взрослые, понимаем, что количество-то будет одно и то же, нам достаточно просто убрать все тарелки и выложить пирожки в 5 рядов по 7 штук, и если обойти с боку, то получится 7 рядов по 5 штук (Свойство коммутативности). Но посуды мыть больше.

Так, я думаю, понятно, что, начиная с умножения, числа в одном действии обозначают разные вещи. При возведении в степень (определяется как многократное умножение) это становится на столько важным, что от перестановки чисел полностью меняется результат.

Но во втором классе (а порой и на летних каникулах перед) вместо разов и предметов, учитель суёт таблицу, в которой написано, какой результат, в каком случае будет, тем самым показывая ученику, что определение действий не нужно. Я даже где-то натыкался на такой вариант урока, когда давалась "таблица деления". (Снова ремарка: действие можно определять через таблицы, как в алгебре логики, но для этого нужна исчерпывающая таблица, охватывающая все возможные комбинации)

Вычитание, деление, корень и логарифм - действия обратные к предыдущим трём. И, как и всё обратное, может определяться по-разному. Вычитание можно определить через те же шайбочки как самостоятельное действие:

Вычитание. Возьмите однородных предметов столько, сколько показывает первое число, уберите предметов столько, сколько показывает второе число. Сосчитайте все оставшиеся. Получившееся количество и будет результатом вычитания

А можно определять и как обратное к сложению:

Вычитание. Возьмите однородных предметов столько, сколько показывает второе число, добавляйте к ним по одному до тех пор, пока не получится первое число. Количество добавленных предметов и будет результатом вычитания.

Аналогично есть два определения деления: как обратное к умножению и как многократное вычитание.

Все 7 действий я сведу в одну таблицу

7 действий школьной математики
7 действий школьной математики

Поскольку в прямые действия входят два числа, требуется два обратных действия. В случае со сложением и умножением эти действия одинаковые, а для степени - разные обратные действия.

Суть проблемы - в определениях

Посмотрите, прямые действия определяются друг через друга сверху вниз, а обратные либо друг через друга сверху вниз, либо через соответствующее прямое.

Действия проходят в таком порядке: сложение, вычитание, умножение, деление, степень, корень, логарифм. С определением сложения всё просто - оно определяется ТОЛЬКО через натуральные предметы. Вычитание в школе уже определяется двумя способами: через предметы и через сложение. И ученики запоминают одно из двух. Поскольку разница между ними практически не влияет на алгоритмы быстрого вычитания, никто (особенно учитель) не замечает, каким определением пользуется ученик.

А вот деление - особая статья. Именно в нём сталкиваются два определения.

При устном счёте используется определение деления как действия, обратного к умножению, а при делении "уголком" применяется определение деления как многократного вычитания.

И вот тут возникает беда, потому что учитель в третьем классе не объясняет этой разницы. Не знаю почему, но не объясняет вообще (думаю, сам не понимает).

И опять ремарка: учителя безуспешно борются с корнями и логарифмами, в конце концов плюют на это дело и заставляют ребёнка учить таблицу корней и логарифмов. Однако мой опыт показывает, что научить вычислять корни и логарифмы можно лишь предложив вычислить пару корней и логарифмов с помощью определения их как обратных действий. Такая методика выходит за рамки настоящей статьи, возможно, я напишу и об этих действиях позже.

И раз уж проблему вызывает именно деление "уголком"...

Деление "уголком"

Обычно хорошо показывать это определение через деление 18 на 2. Устно (через умножение) мы все это легко разделим, получив 9. Теперь попробуем вычитать двойку из 18 много раз и смотреть, где получится девятка. (Здесь ученики говорят: это легко, будем вычитать, пока не получится девять. Вычитают... А дальше смотрите сами)

Вычитая до нуля мы должны считать количество раз, которое смогли вычесть.

Непосредственно такое вычитание будет очень нерентабельным: обратите внимание, что пришлось выполнить 9 действий, прежде чем мы получили ответ, который легко подобрали в уме через умножение. Когда речь зайдёт о делении, например, 6417:31, то вычитание приобретёт масштабы, сопоставимые по времени с длительностью урока! Да и подбор с умножением тут будет практически невозможен (вряд ли Вы помните таблицу умножения двузначных и трёхзначных чисел), если Вы не знаете методы подбора на достаточном уровне, чтобы их применять "на лету".

Алгоритм "уголка" просто сильно оптимизирует это вычитание, с учётом одной интересной закономерности записи чисел в позиционной (десятичной) системе счисления.

Учитель сразу предлагает "подбирать", сколько раз будет вычитаться, но при этом заставляет дробить запись числа на части (порой даже не объясняя принцип дробления) 64;1;7. В исходном методе деления никакого дробления нет.

Мы вычитаем пачками. Сколько пачек по 31 можно вычесть из 6417? Для удобства запишем вот такой "столбик"

"пачки" из 31 по 1, 2, .. , 10 раз
"пачки" из 31 по 1, 2, .. , 10 раз

В каждой строке записано несколько раз по 31. В шестой - это шесть раз по 31. Понятно, о чём я? Чтобы не подбирать и не умножать, мы записали пачки. Так по идее можно писать и до конца, пока не наберётся 6417, но дальше алгоритм снова оптимизируется. Используется особенность десятичной системы счисления: если вы возьмёте число 31 не 6 раз, а 6 десятков раз, то запись будет отличаться только на цифру "0":

Это особенность записи именно в позиционной системе счисления. Значит, если мы запишем такой столбец:

для вычитания десятками
для вычитания десятками

то сможем вычитать сразу десятками. Пот три-пять десятков за раз. Потребуется нам ещё вот такой столбец:

Для вычитания сотнями
Для вычитания сотнями

Вот теперь прекрасно видно, сколько раз можно вычитать: из 6417 можно вычесть 31 как минимум двести раз. 2 сотни раз. И останется ещё 217. По второму столбику не видно, чтобы можно было вычесть хотя бы один десяток раз, зато по первому - великолепно видно, что вычитается семь штук раз. То есть,

31 из 6417 мы вычли две сотни раз, а потом ещё семь раз.

Это всё оформляется в записи вот каким образом:

Деление "уголочком" . Полная версия
Деление "уголочком" . Полная версия

Вот так выглядит алгоритм деления уголком в десятичной системе счисления.

Что делает учитель на уроке:

Учитель показывает ещё более сокращённую, более оптимизированную версию этого алгоритма, часто не называя даже самого факта оптимизации. (Справедливости ради скажу, что некоторые пытаются растолковать и это, но системно выходит далеко не у каждого.) Направление оптимизации тут очевидно: незачем писать лишние "нули" при вычитании, потому что (a-0=a), так что 6200 превращается в просто 62, а цифры просто "сносятся" по одной за шаг. Незачем писать сложение 200+7, потому что (0+a=a), можно сразу писать 207 по одной цифре. Нет необходимости составлять весь столбец от 31 до 279, когда нам нужна только одна строка из него (оранжевая или жёлтая), поэтому учитель требует, чтобы дети подбирали, на что умножить (замена многократному сложению), что, правда, зачастую оказывается накладнее, нежели прямое сложение. И рождается вот такая запись:

Деление "уголочком" . Ознакомительная версия, для доступа к полной версии занимайтесь с родителями или репетиторами
Деление "уголочком" . Ознакомительная версия, для доступа к полной версии занимайтесь с родителями или репетиторами

Здесь требуется записывать "ответ" по одному разряду, начиная с самого старшего, поэтому действия для нуля в этом разряде тоже записывают. А бывает, что и ещё больше сокращают, и не пишут:

Деление "уголочком" . Вторая ознакомительная версия, для доступа к полной версии занимайтесь с родителями или репетиторами
Деление "уголочком" . Вторая ознакомительная версия, для доступа к полной версии занимайтесь с родителями или репетиторами

И малозаметная (особенно, с последней парты) точечка означает пропущенный разряд десятков (ни одного десятка раз не вычлось, только сотнями и штуками) и пропущенное вычитание нуля из 21. Ставят точку тогда, когда цифру сносят подряд за предыдущей, без вычитания.

Заключение

Вы, наверное, не поверите, но в третьем-четвёртом классе "магический" способ загоняют в такую подкорку, что объяснить детям (да и взрослым), что они делили всю жизнь неправильно - практически невозможно. Железная отговорка: нас так учили, это Вы, Стив, учите неправильно и бред какой-то несёте.

Любопытный нюанс тут имеется с подбором. Детям в началке не говорят о подборе. Учителя избегают этого слова, как огня, не рассказывают о методах подбора, о способах ускорить или облегчить подбор. Поэтому у ребёнка остаётся стойкое впечатление, что цифры "2" и "7" взяли наугад. Аналогично было при вычитании. И к концу четвёртого класса складывается устойчивое мнение, что математика - это угадайка, в которой надо писать цифры наугад, авось попадёшь. Это слово так глубоко въелось в подсознание людей, что его моментом перенесли на экзамен ЕГЭ, хотя, даже до того, как отказались от заданий с выбором ответа, реально был именно подбор, а не угадывание.

Конечно, писать столбики для десятков, сотен нерентабельно, скажете Вы. Да, разумеется, так и есть. Но если Ваш ребёнок (или Вы сами) пропишет эти столбики пару раз, то в скором времени придумает свой личный способ оптимизации и сможет прийти к сокращённой записи, сможет легче выполнять подбор.

PS

Понравилась статья - ставьте лайк и подписывайтесь, потому что тема деления ещё не исчерпана, и я ещё буду о ней писать