Орел или решка?

15 August 2019
Не ходите дети в казино гулять!
Не ходите дети в казино гулять!
Эта статья для игроков, которые надеются обыграть казино.
Сыграем в простую игру: если выпадает решка, то вы выигрываете 1 очко, если орел, то ничего не выигрываете (0 очков).

Вы можете сделать серию из n бросков. Количество бросков в серии вы выбираете сами заранее. Вы можете провести сколько угодно серий, но каждая следующая серия должна быть независимой от предыдущей, то есть между сериями должен быть неопределенный (случайный) промежуток времени. За каждую серию вам будет начисляться выигрыш E, равный сумме набранных очков S, деленной на количество бросков n, то есть E равно среднему выигрышу очков за один бросок. Известно, что выпадание орла и решки равновероятно, и очевидно, при большом количестве бросков E будет стемиться к 1/2. Назовем это значение среднеожидаемым E. Отклонение выигрыша от среднеожидаемого значения: z = E - E.

Если бросить только один раз, то результат будет 0 или 1, то есть будет отличаться от среднеожидаемого на 1/2 в ту или другую сторону. Не трудно догадаться, что отклонение будет уменьшаться с удлинением серии.

Нетрудно показать, что если провести m серий из n бросков, то среднее отклонение в сериях будет стремиться к 1/(2n).

Рассмотрим большое число серий. Серии разделим на 2 группы: начинавшиеся с орла (0) и с решки (1).

При большом m численность обеих групп, очевидно, будет стремиться к равенству.

Но зададимся более сложным вопросом: с какой вероятностью знак отклонения z сменится на противоположный при очередном броске с номером k ?

Рассмотрим серию из группы "решка" (1). При первом броске для серий этой группы отклонение равно 1/2. При втором броске с равной вероятностью могут выпасть 0 или 1. То есть выигрыш E будет равен 1/2 или 1. Соответственно, с равной вероятностью мы получим отклонения 0 или 1/2. То есть вероятность смены знака отклонения при втором броске равна нулю.

Вычислим вероятность смены знака отклонения для k = 3. Возможны четыре равновероятных последовательности: (100), (101), (110) и (111). Смена знака, очевидно, происходит только в первом варианте, в котором количество нулей превысит количество единиц, то есть вероятность смены знака не позднее третьего броска равна 1/4.

Если смена знака не произошла при третьем броске, то для четвертого броска возможны следующие варианты (исключаем варианты, при которых смена знака уже произошла ранее): (1010), (1100), (1110), (1011), (1101), (1111). То есть если до четвертого броска смена знака не произошла, то при четвертом броске знак отклонения точно не поменяется. Итак, вероятность смены знака не позднее четвертого броска остается равной 1/4.

Выпишем варианты для k = 5: (10100), (11000), (11100), (10110), (11010), (11110), (10101), (11001), (11101), (10111), (11011), (11111). Всего 12 вариантов, из которых 2 приводят к смене знака. То есть вероятность смены знака не позднее пятого броска равна 1/4 + 1/6 = 5/12, что еще меньше 1/2, что означает, что до пятого броска знак отклонения с большей вероятноcтью не изменится, чем изменится.

Считаем дальше. Легко понять, что шестой бросок не даст прибавки (на четных бросках смена знака не может произойти, если на предыдущих бросках она еще не произошла). Вот такая интересная штука вырисовывается.

Для седьмого броска имеется 40 вариантов, из которых 5 приводят к смене знака: (1110000), (1011000), (1101000), (1010100), (1100100). То есть к седьмому броску вероятность смены знака отклонения становится равной 1/4 +1/6 + 1/8 = 13/24, что больше 1/2. Это означает, что после седьмого броска знак скорее поменяется чем останется неизменным.

Все эти рассуждения можно провести, начиная с любого шага, то есть, зная выпавшее значение данного броска, можно утверждать, что через семь бросков знак отклонения скорее всего изменится.

Таким образом, можно сделать вывод, что проведя большое число m серий по достаточно большому количеству n бросков, мы обнаружим, что преобладающей картиной будет затухающее колебание около среднеожидаемого выигрыша.

Ну и какая из всего этого польза народному хозяйству? А вот какая. Если вы зашли в казино, поставили на черное (или красное - не важно) и выиграли, скорее бегите из казино. Если же при первом броске вы проиграли, то играйте до седьмого броска и после этого бегите из казино!

Но самое лучшее - никогда не играйте на деньги, особенно в казино, поскольку в казино кроме орла и решки (красное и черное) есть еще ребро (зеро).

А. Чудин

15 августа 2019.