Что не так в доказательстве?

Сегодня мы легко и изящно докажем, что сумма углов треугольника равна 180°. Но, предупреждаю сразу, в доказательстве есть ошибка.

Мерил Стрип видит ошибку в доказательстве Филипа Сеймура Хоффмана, кадр из фильма «Сомнение»

Обычное доказательство

Обычно то, что сумма углов треугольника равна 180° доказывают так:

Стандартная картинка. Конкретно эта с сайта https://naobumium.info/planimetriya/summa_uglov_treugolnika.php

Проводим через вершину В прямую, параллельную АС. Обосновываем, что ∠1 = ∠4, а это непросто. Говорим, что ∠4 + ∠2 + ∠5 = 180°, вот и доказательство.

Евклид, например, не мог обосновать, что ∠1 + ∠2 + ∠5 =180° и предложил считать за аксиому. Так что в стандартном доказательстве есть сложные места.

Простое, но нечестное доказательство

Пусть S —сумма углов треугольника ABC.

Картинка и идея статьи из задач первого творческого конкурса учителей

Проведем отрезок BD и пронумеруем получившиеся углы.

Тогда ∠1 +∠2 +∠3 = S и ∠4 +∠5 +∠6 = S. Теперь посмотрим на весь треугольник: ∠1 +∠2 +∠5 +∠6 = S. Кроме того ∠3 +∠4 = 180°, так как эти углы смежные.

Сложим два первых равенства: ∠1 +∠2 +∠3 +∠4 +∠5 +∠6 = 2S, подставим известное, получим S + 180° = 2S. Следовательно S = 180°, что и требовалось доказать.

Кто видит, где ошибка?

Почитать на тему

С.М.Львовский «Что не так? Математические парадоксы и софизмы»