Найти в Дзене
Piter Melnikov

Решение дифференциальных уравнений в Excel

В электронной таблице частные решения дифференциальных уравнений можно находить приближенно, используя для этой цели специальные численные методы. При использовании численных методов решение дифференциальных уравнений dy/dx функция f(x) представляется в табличном виде как совокупность значений yi и xi.

Наиболее простым методом для численного решения дифференциальных уравнений первого порядка y’=f(x) является метод Эйлера. Однако следует иметь виду, что в практических расчетах он дает значительную погрешность. Формула Эйлера имеет вид

-2

На практике для повышения точности используется модифицированный метод Эйлера второго порядка, который имеет следующую формулу

-3

где h –шаг интегрирования.

Технологию решения дифференциального уравнения по методу Эйлера рассмотрим на примере.

Пример. Решить дифференциальное уравнение вида

-4

при начальных условиях x0=0, y(x0)=1 с шагом интегрирования h=0,1 на интервале [0,1]. Заметим, что аналитическое решение этого уравнения запишется так:

-5

Решение:

1. На рабочем листе в столбце А создадим последовательность чисел арифметической прогрессии с шагом 0,1 от 0 до 1(рис.1).

2. В ячейку D4 запишем начальное значение y= 1.

3. В ячейку В4 запишем формулу, реализующую вычисление по аналитической формуле. Результат вычисления будем сравнивать с результатами численного вычисления.

=1,5*EXP(2*A5)-A5^2-A5-0,5

4. В столбце С будем выполнять вычисления по простому методу Эйлера, а в столбце D – по уточненному методу. В ячейку С5 запишем формулу для вычисления по методу Эйлера =С4+0,1*(2*A4^2+2*D4) и скопируем эту формулу буксировкой до строки 14 включительно (рис.1).

5. В ячейку D5 запишем формулу, реализующую пересчет в соответствии с формулой модифицированного метода Эйлера:

=D4+0,5*0,1*(2*A4^2+2*D4+2*A5^2+2*C5).

Скопируем эту формулу до строки 14, там где значение x=1.

В результате вычислений получены результаты, приведенные на рис. 2.

Рис. 1.
Рис. 1.
Рис. 2.
Рис. 2.

Построим графики (рис. 3) для всех видов решений. Для уточненного метода Эйлера построим линию тренда с параметром Полиномиальная 3-й степени.

Как видим, на начальных значениях Х результаты практически совпадают. Однако далее накапливается ошибка. Ее можно уменьшить, если уменьшить шаг h. В ряде случаев при решении практических задач этой ошибкой можно пренебречь. Для более точных вычислений существуют другие численные методы, реализация которых в Excel трудоемка.

Рис.3.
Рис.3.

Рекомендуем почитать