Подготовка к математическим олимпиадам. Тематические сборники.

13 December 2019
A full set of statistics will be available when the publication has over 100 views.

Продолжаем обсуждать материалы для подготовки к классическим олимпиадам. На этот раз мы перечислим книги в разрезе основных разделов олимпиадной математики. Они помогут подготовиться к решению задач на конкретные темы.

Напоминаем, что мы отбирали материалы, которые делают упор именно на решение задач. Отдельно мы обсудим изучение различных математических разделов без упора на задачи. Например, тема «Графы»: для олимпиадников лучше использовать одни книги, а для тех, кто хочет просто глубже узнать, что это такое и как это используется в настоящей науке, – другие.

Итак, давайте посмотрим, какие книги помогут нам дальше с подготовкой к олимпиадам. Для удобства мы будет их рассматривать с разбивкой по основным олимпиадным темам. По одной теме может быть сразу несколько книг на выбор.

☀️ Комбинаторика

Этот раздел олимпиадной математики является чуть ли не самым классическим. Однако, в школах, даже математических, проходят его совсем мало. При этом в серьёзных вузах на математических факультетах (например, на мехмате МГУ) в начале курса теории вероятности преподаватели часто по умолчанию предполагают знание комбинаторики у студентов.

В качестве вводной можно использовать небольшую методичку ЗФТШ по комбинаторике. Затем переходить к более глубоким вещам. Фундаментальной книгой по комбинаторике для школьников является “Комбинаторика” (Виленкин Н.Я.). Помимо неё можно также посоветовать пособие “Комбинаторика — олимпиаднику” (Яковлев И.В.) и “Элементы комбинаторики” (Ежов И.И). Здесь вы вольны выбирать более удобный для вас формат и уровень изложения. Решение задач можно потренировать по специальному задачнику-самоучителю: “Задачи по комбинаторике” (Д.А.Шварц)

☀️ Теория вероятности

Далее само собой после комбинаторики идёт теория вероятности. Конечно, она в нашем случае излагается не так фундаментально, как в вузе (строгая теория вероятности— это один из разделов теории меры), но всё же общее представление о ней и самое главное о задачах по данной теме можно получить. В каждой книге по теории вероятности обычно даётся некоторая вводная часть комбинаторики, но далее упор делается на другие вещи.

Начать мы посоветовали бы с книги “Вероятность: примеры и задачи” (А. Шень). Потом лучше посмотреть книгу “Кружок по теории вероятностей” (Высоцкий И.Р). Порешать задачи для разминки можно в “Пятьдесят занимательных вероятностных задач с решениями” (Ф. Мостеллер)

☀️ Теория графов

Работу с этой темой лучше начинать тогда, когда вы уже познакомитесь с комбинаторикой. Здесь мы посоветуем вводную брошюру “Графы” (Гуровиц В.М., Ховрина В.В.) и две книги О.И. Мельникова “Теория графов в занимательных задачах” и “Незнайка в стране графов”

☀️ Уравнения и неравенства

На олимпиадах любят различного рода уравнения и неравенства. Для начала мы бы посоветовали пособие “Уравнения и неравенства” (Канунников А. Л.). Оно содержит не совсем олимпиадные задачи, и скорее подойдёт как вводная к решению более серьёзных задач. Затем нужно ознакомится с книгой “Уравнения и неравенства. Нестандартные методы решения. Справочник” (Олехник С.Н., Потапов М.К., Пасиченко П.И.). В ней перечислены основные методы решения уравнений. Далее можете переходить к решению неравенств. Для этого можно взять одну из двух книг: “Неравенства. Методы доказательства” (Седракян Н.М., Авоян А.М.) и “Неравенства в задачах” (Сивашенский И.Х.). Плюс небольшая брошюра “Неравенства” (Соловьев Ю.П.). Кому понравится эта тема – лучше изучить все эти книги. И ещё дополнительно можно посмотреть интересный способ решения неравенств по пособию “Альтернативные доказательства 100 неравенств: метод отделяющих касательных” (А. Лепес). В нём излагается простой способ решения огромного количества неравенств без необходимости знания сложных преобразований. Примечательно, что автор составил этот документ будучи одиннадцатиклассником.

☀️ Тригонометрия

По этой теме есть подробнейшая книга “Тригонометрия” (Гельфанд И. М.). Книга хороша ещё и тем, что этот раздел объясняется с самых базовых вещей. Есть ещё чуть более продвинутая “Задачник-практикум по тригонометрии” (Бескин Н.М.), но там уже есть некоторые вкрапления из высшей математики. Как следует из названия – её хорошо использовать для прорешивания задач. Для прорешивания задач также можно использовать книгу “Тригонометрия. Техника решения задач” (Лурье М.В) или ещё более объёмную “Тригонометрия на вступительных экзаменах по математике в МГУ” (Фалин Г.И.). На олимпиадах довольно часто можно встретить задачи с обратными тригонометрическими функциями. К решению таких заданий можно отдельно подготовиться по книге “Обратные тригонометрические функции. 10-11 классы.” (Фалин Г.И., Фалин А.И.).

☀️ Логарифмы и экспонента

Следующая тема больше школьная, нежели олимпиадная. Поэтому книги здесь больше ориентированы на понимание, нежели на решение задач. Для этого вам помогут небольшая брошюра “Логарифмы и экспонента” (А. Шень) и книга “Рождение логарифма” (Абельсон И.Б.). Также можно использовать наш видеозадачник с соответствующими разделами.

☀️ Задачи с параметрами

Параметры встречаются в классических олимпиадах реже, чем в вузоматике, однако эту тему всё равно необходимо проработать. Сначала вам нужно разобраться с графиками функций. Для этого есть обязательная книга “Функции и графики (Основные приёмы)” в качестве вводной и две книги посложнее: “Построение графиков функций” (Л.В. Ершов, Райхмист Р.Б.) и “Графики функций” (Райхмист Р.Б.). После изучения графиков можно обращаться непосредственно к параметрам. Здесь вам могут помочь четыре книги: “Задачи с параметрами” (Горнштейн П.И., Полонский В.Б., Якир М.С.) “Математика. Задачи с параметром. Задача 18. Профильный уровень.” (Шестаков С.А.), “Задача с параметром при подготовке к ЕГЭ” (Высоцкий В.С.) и “Задачи с параметрами. Справочное пособие по математике.” (Амелькин В. В., Рабцевич В. Л.). Они помогут вам разобраться со стандартными методами решения подобных задач. Для проработки лучше всего взять одну из них в качестве базовой (любую, к которой у вас лежит душа) и использовать её как основную. А потом просмотрите остальные книги на предмет каких-либо дополнительных методов решения. После этого можно посмотреть книгу “Задачи с параметрами, сложные и нестандартные задачи.” (Козко А.И. и др.). Она заточена именно на нестандартные задачи в этой теме и будет полезна именно для классических олимпиад.

☀️ Математическая индукция

Это важная тема для олимпиадников и мощный инструмент решения многих задач из различных разделов. По ней есть одноимённая небольшая вводная брошюра “Математическая индукция” (А. Шень). Для более углубленной проработки можно использовать книгу “О математической индукции” (Соминский И.С., Головина Л.И., Яглом И.М.).

☀️ Принцип Дирихле

Следующий важный метод решения олимпиадных задач — принцип Дирихле. Преимущество его в том, что он интуитивно понятен, не требует глубоких знаний школьной программ и обычно доступен начиная с 7 класса или даже раньше. Вводная брошюра для старших классов по этой теме: “Принцип Дирихле” (Андреев А.А. и др.). Можно также вникнуть в этот метод, используя простой частный случай, хорошо описанный в книге “Принцип Дирихле на клетчатых досках” (В. Баранов, О. Баранова). Для более глубокого изучения темы можно использовать книгу “Принцип Дирихле. Задачи с указаниями и решениями” (Летчиков А.В.). Она предназначена для широкого круга читателей от младших школьников до студентов-математиков.

☀️ Логика

На эту тему есть современный сборник заданий “Логические задачи” (Раскина И. В., Шноль Д. Э.), а так же чуть более старый “Логические задачи” (О.Б. Богомолова). Можно также посмотреть книгу “Игра и логика. 85 логических задач” (Бизам Д., Герцег Я.). В ней описан довольно интересный способ решения логических задач, но чтобы в нём разобраться нужно будет плотно и последовательно поработать с этой книгой.

☀️ Функциональные уравнения

По этой теме есть хорошая вводная брошюра “Композиция функций и функциональные уравнения” (В.В. Бардушкин, А.И. Белов, А.А. Прокофьев, Т.П. Фадеичева) и три более серьёзные книги: “Функциональные уравнения” (Бродский Я.С, Слипенко А. К.), “Элементарное введение в функциональные уравнения” (Лихтарников Л. М.) и “Функциональные уравнения” (Андреев А.А.). Особенно хороша третья книга. Уровень для прочтения этих книг должен быть довольно высоким, но для продвинутого школьника книги будут по силам.

☀️ Целая и дробная часть

Познакомиться с этой темой можно по брошюре “Антье” (Андреев А.А., Люлев А.И., Савин А.Н.). Глубже понять как решать задачи на целую и дробную часть можно по книге “Антье и мантисса” (Семёнов И. Л.). В ней данная тема раскрыта исчерпывающее . Есть ещё одна книга на схожую тему, но она больше посвящена арифметике и теории сложности арифметических алгоритмов (целой и дробной части там посвящён только один раздел). Это книга “Арифметика. Алгоритмы. Сложность вычислений” (Гашков С.Б., Чубариков В.Н.). Она уже для серьёзного подготовленного ученика.

☀️ Уравнения в целых числах

Обычно в школе решают уравнения для всех действительных неизвестных. Но есть красивый пласт задач, когда нам нужно найти решение в целых числах. Методы решения подобных задач хорошо изучены, а познакомиться с ними вам поможет книга: “Решение уравнений в целых числах”(Латанова Н.И., Власова А.П., Евсеева Н.В.). Ещё есть хорошая книга “Нестандартные задачи по математике. Задачи с целыми числами” (Галкин Е.В.). Если их окажется мало, можете посмотреть ещё две книги: “О решении уравнений в целых числах” (В. Серпинский) и “Решение уравнений в целых числах” (Гельфонд А.О.) и вот такие две более серьёзные брошюры: “Алгебраическая геометрия и теория чисел. Рациональные и эллиптические кривые” (Острик В.В. и Цфасман М.А.) и “Уравнения Пелля” (Бугаенко В. О.).

☀️ Теория чисел

Ещё один важный большой раздел. Эта тема одна из самых обширных и необходимых как для олимпиадников, так и для тех, кто планирует дальше заниматься математической наукой. Сюда мы включили две книги: “Азы теории чисел” (Кноп К.А.) и “Делимость и простые числа” (Сгибнев А.И). Лучше всего ознакомиться с каждой из них. После этого можно изучить вот такой сборник задач: “Конкурсные задачи, основанные на теории чисел“ (Галкин В.Я., Сычугов Д.Ю., Хорошилова Е.В.). Глава с целыми числами оттуда нас не так интересует (по этой теме выше было всё разобрано), а остальные будут полезны.

☀️ Разные олимпиадные темы

В заключении перечислим книги по некоторым специальным разделам, которые не упомянули выше: “Многочлены” С. Л. Табачников, “Цепные дроби” (Арнольд В. И.) + “Цепные дроби” (Хинчин А.Я.), “Числа Фибоначчи” (Воробьев. Н. Н.).