EGMO-2020, II.5, решение

1 May

Всем привет!

Сегодня разбираем вторую геометрическую задачу с Европейской математической олимпиады для девочек. Во второй день задача была под номером пять, то есть вроде как попроще. Условия геометрических задач с этой олимпиады я публиковал тут. Напоминаю, что за публикациями можно следить на телеграм-канале Олимпиадная геометрия. Кроме того, с недавнего времени можно присоединиться и к сообществу сообществу вконтакте, где гораздо удобнее оставлять комментарии и поддерживать обратную связь.

Напомню условие задачи.

EGMO-2020, II.5, решение
EGMO-2020, II.5, решение

Мне кажется, наиболее естественные решения этой задачи опираются на лемму о трезубце, впрочем это не точно. Опять же у задачи очень много разных решений. Если у вас есть свое красивое, то не стесняйтесь писать его в комментариях. Я же поделюсь своим.

Первое, что мне захотелось сделать в этой задаче — продлить CP до пересечения с окружностью, ибо CP это единственная из уже проведенных (будущих) биссектрис, и, таким образом, точка P оказывается жестче привязана к картинке. Кроме того, очевидно образуется симметричная относительно серединного перпендикуляра к BC конфигурация. Итак, пусть CP пересекает окружность в точке X. Тогда из симметрии XP=PA=AO=OX. Значит, OAPX — ромб.

EGMO-2020, II.5, решение

Далее смотрим на четырехугольник OPBX. У него две параллельных стороны и равны диагонали, следовательно, он является равнобедренной трапецией и заключаем, что DE является серединным перпендикуляром не только к отрезку PB, но и к отрезку OX тоже. Следовательно, треугольники OEX и ODX равносторонние.

В результате видим, что CX биссектриса угла DCE и на биссектрисе взята такая точка P, что XP=XD=XE. Следовательно, P — центр вписанной окружности треугольника CDE по лемме о трезубце.