КазМО-2019, финал, 9.5, решение

6 May

Всем привет!

Сегодня разбираем задачу 9.5 с финала республиканской олимпиады Казахстана прошлого года. Задача была такой.

КазМО-2019, финал, 9.5, решение
КазМО-2019, финал, 9.5, решение

Забавная задача, но в целом решается грамотным счетом углов. Мой принцип в этом месте такой — надо стараться делать углы более естественными на картинке и пытаться уменьшить количество задействованных точек. Давайте, руководствуясь этим принципом, сведем задачу к более простой.

Во-первых, давайте определим точку N как точку пересечения пунктирной окружности на чертеже с прямой CD и будем доказывать равенство красных углов. Мне почему-то это кажется более естественным, хотя особой роли и не играет. Наше окончательное решение легко перепишется в исходной формулировке.

Во-вторых, красные углы естественно заменить на углы DPN и HPB, добавив к ним уголок HPN. Почему так? Потому что угол DPN вписан в пунктирную окружность, а это существенная часть условия. Кроме того, угол HPB вписан в окружность, построенную на BC как на диаметре. Один из новых углов обозначим синей дужкой, а второй сиреневой и будем доказывать их равенство.

КазМО-2019, финал, 9.5, решение

Давайте угол HPB "перекинем" — заменим на угол DCB (в окружности с диаметром BC). Тогда точка H с картинки по сути исчезнет вообще.

КазМО-2019, финал, 9.5, решение

Далее, думаем, какое еще условие мы не использовали. А мы не использовали, что точки D и C симметричны относительно прямой AB. здорово, давайте заменим угол DCB на BDC, так он тоже станет вписанным в пунктирную окружность.

КазМО-2019, финал, 9.5, решение

Круто, видим теперь, что утверждение равносильно тому, что BD есть касательная к пунктирной окружности, а это равносильно равенству BD²=BPBC, которое очевидно, поскольку BC=BD и нужное равенство следует из подобия треугольников BPC и BCM.