Поворотная гомотетия и лемма о велосипедистах. Часть I

3 May

Всем привет!

Пожелания читателей сообщества вконтакте распределились так, что самой популярное темой для воскресной публикации была выбрана поворотная гомотетия и лемма о велосипедистах. Что ж, исполняю пожелание. Сегодня будет первая часть публикации, содержащая необходимые сведения про поворотную гомотетию, а в следующее воскресенье, если я успею, будет уже разговор про лемму о велосипедистах. А пока посмотрите соответствующую гифку.

Поворотная гомотетия и лемма о велосипедистах. Часть I
Поворотная гомотетия и лемма о велосипедистах. Часть I

Что такое поворотная гомотетия?

Поворотная гомотетия это, как следует из названия, композиция поворота и гомотетии. Удобно смотреть на это с точки зрения векторов на плоскости: при повороте все векторы поворачиваются на один и тот же угол, а при гомотетии растягиваются в одно и то же количество раз. При поворотной гомотетии все векторы поворачиваются и растягиваются, при этом и угол поворота, и коэффициент растяжения у всех векторов одинаковый. Это, в частности, означает, что поворотная гомотетия переводит фигуры в подобные, прямые — в прямые, окружности —в окружности, сохраняя в процессе всевозможные пропорции.

Поворотная гомотетия и лемма о велосипедистах. Часть I
Поворотная гомотетия и лемма о велосипедистах. Часть I

Оказывается у поворотной гомотетии (если она не тривиальная, то есть угол поворота не кратен 360°, а коэффициент растяжения не равен 1) обязательно есть неподвижная точка, называемая центром поворотной гомотетии. Центр легко построить по любой точке A и ее образу A' — достаточно найти такую точку O, что угол AOA' равен углу поворота, а отношение A'O/AO равно коэффициенту растяжения.

Отмечу, что коэффициент растяжения у поворотной гомотетии может быть и отрицательным (как у обычной гомотетии), однако этого можно легко избежать, добавив при необходимости к углу поворота 180° (поворот на развернутый угол является центральной симметрией). Композиция поворотных гомотетий, согласно определению, почти всегда является поворотной гомотетией. Исключение составляют лишь те случаи, когда сумма углов поворотов кратна 360°, а произведение коэффициентов равно 1. В этом случае все векторы в результате выполнения композиции сохраняют свои направления и длины, то есть композиция является параллельным переносом.

Как совместить поворотной гомотетией два отрезка?

Предположим, что на плоскости даны два отрезка AB и A'B' и мы хотим совместить их поворотной гомотетией так, что бы точка A перешла в точку A', а точка B — в точку B'. Всегда ли это можно сделать? Единственным ли способом? Как найти центр соответствующей поворотной гомотетии?

Есть пара тривиальных случаев. Если отрезки равны и параллельны, то совместить их поворотной гомотетией, конечно, нельзя — роль нужной поворотной гомотетии в этом случае выполняет параллельный перенос. Если отрезки параллельны, но не равны, то очевидно, что можно обойтись обычной гомотетией с центром в точке O пересечения прямых AA' и BB' (треугольники OAB и OA'B' окажутся подобными в виду параллельности прямых AB и A'B').

Поворотная гомотетия и лемма о велосипедистах. Часть I
Поворотная гомотетия и лемма о велосипедистах. Часть I

Перейдем теперь к общему случаю. Пусть отрезки AB и A'B' не параллельны, тогда легко определить угол поворотной гомотетии — от в точности равен углу между отрезками (тут правильно было бы говорить «направленному углу»). То есть если прямые AB и A'B' пересекаются в точке X, то центр поворотной гомотетии O должен удовлетворять равенствам 

Поворотная гомотетия и лемма о велосипедистах. Часть I
Поворотная гомотетия и лемма о велосипедистах. Часть I
Поворотная гомотетия и лемма о велосипедистах. Часть I
Поворотная гомотетия и лемма о велосипедистах. Часть I

Опять же равенство, если вы понимаете о чем я, надо воспринимать как равенство направленных углов. Это означает, что центр поворотной гомотетии должен лежать одновременно на описанных окружностях треугольников AXA' и BXB'. Одна точка пересечения окружностей это точка X. Она годится в качестве центра только в случае подобия треугольников XAA' и XBB', то есть в случае параллельности прямых AA' и BB' и касания описанных окружностей треугольников AXA' и BXB', то есть по сути когда вторая точка пересечения совпадает с точкой X.

Итак, в реальности претендент на звание центра поворотной гомотетии один — вторая точка пересечения O описанных окружностей треугольников AXA' и BXB'. Проверим, что она подходит. Из вписанностей углы XAO и XA'O равны и углы XBO и XB'O тоже. Следовательно, треугольники OAB и OA'B' подобны, поэтому

Поворотная гомотетия и лемма о велосипедистах. Часть I
Поворотная гомотетия и лемма о велосипедистах. Часть I

Поворотная гомотетия и лемма о велосипедистах. Часть I
Поворотная гомотетия и лемма о велосипедистах. Часть I

Итак, центр поворотной гомотетии найден, он существует всегда, кроме вырожденной ситуации, единственен и может быть найден как точка пересечения двух окружностей. Круто!

Поворотная гомотетия и лемма о велосипедистах. Часть I
Поворотная гомотетия и лемма о велосипедистах. Часть I

Важное наблюдение и точка Микеля

Самое поразительное и простое наблюдение, которое можно сделать состоит в том, что если — центр поворотной гомотетии, переводящей отрезок AB в отрезок A'B', то точка O является и центром поворотной гомотетии, переводящей отрезок AA' в отрезок BB'. Действительно, из подобия треугольников OAB и OA'B' легко вывести подобие треугольников OAA' и OBB', сравнив углы и отношения отрезков с вершиной O.

Поворотная гомотетия и лемма о велосипедистах. Часть I
Поворотная гомотетия и лемма о велосипедистах. Часть I

Но мы же знаем как строится центр поворотной гомотетии, переводящей отрезок AA' в отрезок BB' в случае их непараллельности — надо пересечь прямые AA' и BB' в точке Y и вторая точка пересечения окружностей, описанных около треугольников ABY и A'B'Y, и будет центром поворотной гомотетии.

Какой вывод можно сделать? А вот какой: сразу четыре окружности проходят через одну точку: окружности, описанные около треугольников AA'XBB'XABY и A'B'Y. Это утверждение можно сформулировать следующим образом.

Точка Микеля. Для любых четырех прямых описанные окружности четырех образуемых ими треугольников пересекаются в одной точке. Эта точка называется точкой Микеля четырех прямых.

Подробнее говорить о точке Микеля в этой статье я не собирался. Отмечу только, что это очень сильное утверждение, которое, при должном умении и правильном восприятии, позволяет в различных задачах многое сразу видеть на геометрической картинке. Если вы никогда этого утверждения не видели, попробуйте с его помощью доказать факт о прямой Симсона: основания перпендикуляров из точки P на стороны треугольника ABC лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда точка P попадает на описанную окружность треугольника ABC.