Всеросс-2020, региональный этап, 9-10.5, решение

5 February

Всем привет! Начинаем разбираться с задачами прошедшего регионального этапа. Сегодня на повестке задача, предлагавшаяся в 9 и 10 классах в первый день — геометрическое неравенство. Напомню условие.

Для того, чтобы решить эту задачу, надо было вспомнить полезные факты про средние линии четырехугольника (особенно обратив внимание на неравенства), а также факты про описанные четырехугольники, и попробовать связать это все в решение задачи.

Начнем со средних линий.

1. Середины сторон четырехугольника являются вершинами параллелограмма (параллелограмма Вариньона). Это крутой факт, надо о нем просто помнить.

2. Средняя линия не превосходит полусуммы заключающих ее сторон. То есть если мы обозначим длины сторон нашего четырехугольника в порядке обхода через a, b, c и d, длину средней линии, соединяющей середины сторон с длинами a и c — через m, и длину средней линии, соединяющей середины сторон с длинами b и d через n, то будут верны неравенства

Далее вспомним факты про описанные четырехугольники.

3. Естественно основное свойство состоит в том, что суммы противоположных сторон равны, то есть

4. Уже видно, что ключевыми связующими являются суммы противоположных сторон, но пока нет диаметра окружности! Главное свойство, которое тут можно написать, это формулу для площади: если r — радиус вписанной окружности, а S — площадь, то

Итак, мы пришли к тому, что в задаче уже заиграла площадь, как единственное разумное связующее звено между радиусом вписанной окружности и сторонами четырехугольника. Надо вспомнить факты про площади и середины!

5. Конечно, площадь параллелограмма Вариньона в два раза меньше площади четырехугольника.

6. И ключевое полезное неравенство, связывающее площадь параллелограмма Вариньона с длинами средних линий — площадь параллелограмма равна произведению длин диагоналей на синус угла между ними, поэтому не превосходит просто половины произведения диагоналей. Учитывая наблюдение 5, заключаем

На самом деле решение почти закончено. Осталось просто собрать пазл:

На мой вкус задача простовата для 5-го места региона, но неравенства всегда идут труднее. Тут все шаги естественны и сложность может состоять либо в том, чтобы привлечь площадь (хотя я считаю это единственной разумной связью между радиусом и сторонами), либо в том, чтобы сделать последний шаг и понять, что задача уже по сути решена. Ну и, конечно, нужно умело извлекать из своего сознания все необходимые факты.

Не хотите пропустить запись? Ищите канал в телеграме Олимпиадная геометрия.