624 subscribers

Задача ПРОФИ, которую не могла решить несколько лет

1,3k full reads
Ситуация вынудила стать учителем онлайн. Пришлось многому научиться. Понравилось. Теперь здесь пишу краткое содержание одного онлайн урока на 45 минут или просто какую-нибудь фишку для онлайна .

Задача:

Задача ПРОФИ, которую не могла решить несколько лет
Задача ПРОФИ, которую не могла решить несколько лет

Эта задача - из ПРОФИ-2013. Номер задачи (29) уже указывает на то, что эта задача повышенной сложности. Не смогла ее решить на конкурсе, но это-то понятно, там времени всего 100 минут на 30 заданий. И поэтому, если в первую минуту решения задачи у меня нет идей решения или они тупиковые, - надо бросать эту задачу и решать следующую.

Но и позже, разбирая задания, готовясь к ПРОФИ следующего года, долго не могла ее решить. Но каждый раз при попытке решения находила разные кусочки решения этой красивой задачи.

Так, легко было найти косинус каждого угла четырехугольника. Или заметить, что АО - биссектриса...

Вот перечень всей теории, которая пригодится при решении этой задачи:

1) Теорема косинусов

2) Свойство четырехугольника, описанного около окружности

3) Свойство четырехугольника, вписанного в окружность

4) Свойство центра окружности, вписанной в угол

5) Площадь треугольника

6) Площадь четырехугольника

7) Тангенс половинного угла

8) Основное тригонометрическое тождество

9) Тангенс острого угла прямоугольного треугольника

10) Формулы приведения

Отличный набор, согласитесь. Рекомендую как задачу для одного занятия по подготовке к ЕГЭ.

======

Решение:

Задача ПРОФИ, которую не могла решить несколько лет

1) Найдем косинус угла ВАD, обозначив его α. По теореме косинусов в треугольнике ВАD:

Задача ПРОФИ, которую не могла решить несколько лет

По теореме косинусов в треугольнике ВСD:

Задача ПРОФИ, которую не могла решить несколько лет

Отсюда имеем:

Задача ПРОФИ, которую не могла решить несколько лет
Задача ПРОФИ, которую не могла решить несколько лет

4) Найдем площадь четырехугольника АВСD:

Задача ПРОФИ, которую не могла решить несколько лет

5) Найдем радиус окружности, вписанной в четырехугольник:

Задача ПРОФИ, которую не могла решить несколько лет

6) Рассмотрим треугольник АОМ:

Задача ПРОФИ, которую не могла решить несколько лет
Задача ПРОФИ, которую не могла решить несколько лет

Ответ: 2