Задача 1.20 из "Сборника задач по медицинской и биологической физике" Ремизова А.Н. 2001 г.

16 February 2020
Найдите абсолютную и относительную погрешности в определении объёма цилиндра, если при измерениях были получены значения радиуса R=(6+/-0.1) см и высоты H=(10+/-0.2) см. // Задача 1.6 из "Сборника задач по медицинской и биологической физике" Ремизова А.Н. 2001 г.

Данная задача в более удобном для восприятия виде находится тут.

Чтобы решить данную задачу, воспользуемся методом логарифмической погрешности, о котором было рассказано в задаче 1.18. Согласно этому методу при вычислении объёма цилиндра V (см. рисунок ниже)

V=pi*R^2*H, (1)

где pi - число пи, относительная погрешность eV будет вычисляться как

eV=epi+2*eR+eH, (2)

где epi, eR и eH - погрешности для числа пи радиуса R и высоты цилиндра H.

Цилиндр имеет высоту Н и радиус R. Его объём легко можно вычислить как произведение площади его основания на его высоту: V=pi*R^2*H.
Цилиндр имеет высоту Н и радиус R. Его объём легко можно вычислить как произведение площади его основания на его высоту: V=pi*R^2*H.

Если взять число пи равным 3.14159, то можно не учитывать в формуле (2) первое слагаемое в правой части. Тогда по данным задачи можно вычислить относительные погрешности для значений радиуса и высоты цилиндра:

eR =0,1/6; eH =0,2/10. (3)

Таким образом, по формуле (2) с учётом формулы (3) можно установить величину относительной погрешности для объёма цилиндра:

eV= 2*eR +eH=2*0,1/6+0,02=0,053. (4)

Напомним, что в формуле (4) учтено, что при дифференцировании натурального логарифма от квадрата радиуса мы воспользовались свойством: ln(R^2)=2*ln(R). Для вычисления абсолютной погрешности DV_ для объёма цилиндра можно записать:

DV_=V_*eV, (5)

где V_ - среднее значение объёма цилиндра. Вычислим с помощью (5) и (4) величину абсолютной погрешности:

DV_=3,14159*6^2*10*0,053=61.39 см^3, (5)

Ответ: относительная погрешность eV=0,053, абсолютная погрешность DV_=61.39 см^3.