Задача 2.21. Решебник "Сборника задач по медицинской и биологической физике" Ремизова А.Н. 2001 г.

<100 full reads
125 story viewsUnique page visitors
<100 read the story to the endThat's 51% of the total page views
1 minute — average reading time
Какую среднюю мощность развивает человек при ходьбе, если продолжительность шага равна Dt = 0.5 c? Считать, что работа затрачивается на ускорение и торможение нижних конечностей. Угол перемещения ног около Dfi=30 градусов. Момент инерции нижней конечности J=1.7 кг*м^2. Движение ног рассматривать как равнопеременное вращательное. // Ремизов А.Н., Максина А.Г. "Сборник задач...", 2001 г.https://bookmix.ru/bookprice.phtml?id=84492
Во время фазы разгона ноге сообщается некоторое количество энергии, которое должно быть отнято в фазе торможения. Поэтому работа в этих фазах одинакова по модулю.
Во время фазы разгона ноге сообщается некоторое количество энергии, которое должно быть отнято в фазе торможения. Поэтому работа в этих фазах одинакова по модулю.
Во время фазы разгона ноге сообщается некоторое количество энергии, которое должно быть отнято в фазе торможения. Поэтому работа в этих фазах одинакова по модулю.

В данной задаче была найдена ошибка, благодарю за указание на неё. Правильный вариант в перенабранными формулами можно посмотреть тут.

Для определения средней мощности Ps будем использовать стандартную формулу для вычисления среднего значения:

Ps=A/Dt=(A1+A2)/Dt, (1)

где A - это вся работа за один шаг, A1,2 - работа, совершённая при разгоне ноги (до середины шага) и её торможении (после середины шага), соответственно.

При разгоне и торможении тела, очевидно, меняется его кинетическая энергия, и её изменение равно работе внешних сил на этим телом. Так как в конце пути нога полностью останавливается, то при её торможении совершается точно такая же работа, которая была совершена для её разгона. Действительно, при разгоне ноге сообщается кинетическая энергия T1, и которую нужно "забрать" при торможении. Равенство сообщённой и отнятой энергий за одно и то же время говорит о равенстве работ A1 и A2. Поэтому формулу (1) можно переписать в следующем виде:

Ps=2*A1/Dt=2*T1/Dt. (2)

Вычислим величину T1. В конце первой половины шага имеем соотношение

T1=J*w_m^2/2, (3)

где w_m - угловая скорость на момент времени Dt/2. Зависимость угловой скорости w от времени можно записать как

w=w0+e*ts=e*ts, (4)

ибо w0=0 (нога в начале движения покоится), и e - угловое ускорение, которое по условию задачи должно быть постоянным. Вычислим угловое ускорение. Для этого запишем зависимость угла fi от времени, проинтегрировав соотношение (4):

fi=e*ts^2/2. (5)

Здесь мы приняли начальный угол равным нулю. При ts=Dt/2 мы имеем следующее равенство: fi=Dfi/2. Следовательно,

e=2*Dfi/(2*(Dt/2)^2)=4*Dfi/Dt^2. (6)

Подставим выражение (6) в выражение (4):

w=4*Dfi*ts/Dt^2. (7)

Формула (7) позволяет вычислить значение w_m, подставив вместо ts Dt:

w_m=4*Dfi/Dt. (8)

Таким образом, кинетическая энергия T1 записывается как

T1=J*(4*Dfi/Dt)^2/2=8*J*Dfi^2/Dt^2. (9)

Средняя мощность Ps вычисляется после подстановки (9) в (2):

Ps=16*J*Dfi^2/Dt^3. (10)

Проверим размерность средней мощности:

[Ps]=кг*м^2/c^3=(кг*м*м/c^2)/с=Н*м/с=Дж/с=Вт.

Подставим значения переменных из условия задачи:

Ps=16*1.7*(Pi/6)^2/0.5^3=59.65=60.0 Вт

При вычислении мы учли, что отве нужно округлить до десятых, так как время шага задано с точностью до десятых долей секунды.

Ответ: средняя мощность Ps=16*J*Dfi^2/Dt^3=60.0 Вт.

Примечание. При получении к данной задаче ответа авторы задачника Ремизова делают неочевидную ошибку при усреднении средней мощности, полагая, что среднее значение квадрата величины равняется квадрату от среднего значения величины: (максимальная угловая скорость)^2 равна некоторой (средней максимальной скорости)^2.

Убедиться в этом можно даже на примере простейшей функции x=t. На промежутке от t1 до t2 среднее значение x: x_s=(t1+t2)/2. Откуда квадрат среднего значения равен:

x_s^2=(t1+t2)^2/4.

Теперь подсчитаем среднее значение квадрата x: <x^2>=(t2^3-t1^3)/(3*(t2-t1)).

Видно, что x_s^2 и <x^2> не равны друг другу.