Задача 2.39. Решебник "Сборника задач по медицинской и биологической физике" Ремизова А.Н. 2001 г.

Маятник совершает гармонические колебания. Через какое время он при первом колебании отклонится от положения равновесия на расстояние, равное 1/2 амплитуды, если период колебания T=4 с, начальная фаза fi0=Pi/2. // Ремизов А.Н., Максина А.Г. "Сборник задач...", 2001 г. https://bookmix.ru/bookprice.phtml?id=84492

Начальная фаза fi0=0 соответствует двум ситуациям, изображённым в случае (а) и (б). В случае (а) маятник из положения равновесия выводится ударом (как, например, натянутая струна рояля), при этом формула для углового отклонения будет описываться формулой (1а). Также можно отклонить тело на максимальный угол y0 и отпустить (такое встречается в случае игры гитаре при использовании щипковой техники). Для описания "щипковой" ситуации при решении задачи надо использовать формулу (1б).

Формулы к данной задаче перенабраны, опечатки исправлены, можно смотреть тут.

Запишем зависимость координаты y тела при гармонических колебаниях от времени t:

y=y0*cos(w*t+fi0)= y0*sin(w*t), (1а)

или

y=y0*sin(w*t+fi0)= y0*cos(w*t), (1б)

где y0 –амплитуда колебаний (в данном случае - в угловых единицах), w – частота колебаний. В данном случае мы выбрали обе зависимости, так как гармонические колебания подчиняются каждому соотношению из (1). Их отличие состоит в том, что при зависимости (1а) тело при t=0 имеет нулевую начальную координату, но его скорость отлична от нуля (см. рис. выше). При зависимости (1б) тело максимально отклонено от положения равновесия, но имеет нулевую начальную скорость.

Примечание. Предлагаем читателю самостоятельно проверить это утверждение.

По условию задачи при некотором времени ta маятник должен отклониться от положения равновесия на расстояние y0/2, поэтому с учётом формул (1) можно записать:

y0/2=y0*sin(w*ta), или y0/2=y0*cos(w*ta). (2)

Решение уравнения (2) имеет следующий вид:

ta=arcsin(1/2)/w, ta=arccos(1/2)/w. (3)

Для вычисления ответов по формулам (3) необходимо знать выражение для угловой частоты колебаний w: w=2*Pi/T. Таким образом,

ta=T*arcsin(1/2)/(2*Pi), ta=T*arccos(1/2)/(2*Pi). (4)

Так как функция arcsin (или arcos) есть величина безразмерная в системе СИ, то размерность ta совпадает с размерностью T, т.е. с секундами, что и должно быть. Подставим численные значения переменных в формулы (4):

ta=4*arcsin(1/2)/(2*3.1459)=0.33 с.

ta=4*arccos(1/2)/(2*3.1459)=0.67 с

Ответ: через ta=0.33 с или 0.67.

Примечание. Ответы, полученные при решении этой задачи, не совпадают с ответом, представленным в задачнике.