Математика Древнего Египта и Вавилона

2 December 2020

Сегодня математика является одной из самых развитых и сложных наук. Где же были сделаны первые шаги для её становления? «Пробуждающаяся наука» – так называется известная книга голландского математика Ван дер Вардена о математике Древнего Египта, Вавилона и Греции. О Древней Греции мы уже писали в предыдущей статье, в этой поговорим о Древнем Египте и Вавилоне.

Математика Древнего Египта и Вавилона

Древний Египет

Основные математические тексты Древнего Египта написаны на папирусе. Самый большой сохранившийся текст – это папирус Ринда (Райнда), названный по имени владельца, который его приобрёл в 1858 г. Папирус имеет размер 5.25 м на 33 см и содержит 84 математические задачи, хранится в Британском музее в Лондоне. Кстати, второй по величине из сохранившихся математических папирусов, называется московским и хранится он в музее изобразительных искусств им. А. С. Пушкина в Москве.

Фрагмент папируса Ринда, Британский музей
Фрагмент папируса Ринда, Британский музей

При счёте египтяне использовали десятичную непозиционную систему счисления, аналогичную римской, только для изображения цифр ими применялись другие знаки:

Источник: https://hsto.org/files/2a0/ba1/ea2/2a0ba1ea2b064b69a5ab45459ae8b154.png
Источник: https://hsto.org/files/2a0/ba1/ea2/2a0ba1ea2b064b69a5ab45459ae8b154.png

В папирусе Ринда приводятся правила действий с дробями. Египтяне использовали не все известные нам дроби, а только часть из них, а именно 1/2, 1/3, 2/3, 3/4, 1/4, 1/6, 1/8. Такие дроби, у которых в числителе стоит 1, называются аликвотными. По мере развития науки, к ним добавились другие дроби с числителем, равным единице, а также дроби, имеющие числитель на единицу меньший, чем знаменатель. Никаких других дробей египтяне написать не могли. Для обозначения остальных дробей они использовали суммы вышеприведённых. Например, 3/8 египтяне записывали как 1/4+1/8.

Кроме действий с дробями, в папирусе Ринда приводятся задачи для вычисления «аха» – аналога уравнений первой степени с одним неизвестным. Большое внимание уделено решению прикладных задач, таких как вычисление необходимого количества зерна для приготовления хлеба и перевод одних мер ёмкости и веса в другие.

Основные знания египтян в области геометрии относятся к вычислению объёмов и площадей различных фигур. Площади треугольников, прямоугольников и трапеций находились по тем же формулам, что мы используем и сейчас; площади остальных фигур – по приближённым. Главным достижением древних египтян в геометрии было очень хорошее приближение для формулы площади круга: они возводили 8/9 диаметра в квадрат. Таким образом, египтяне использовали наиболее приближенное к реальности значение числа пи, а именно 3,1605, когда в остальном мире пользовались значением 3. Для вычисления объёма таких тел, как цилиндр, призма, куб и параллелепипед египтяне умножали площадь основания на высоту.

Древний Вавилон

В Древнем Вавилоне для записи использовали глиняные таблички. Известно несколько сотен математических табличек, преимущественно учебного характера. Выделить какую-то отдельную табличку тут затруднительно. Именно в Вавилоне мы впервые встречаемся с позиционной системой счисления. Для изображения числа использовались всего 2 знака: «клин» и «угол». Вавилоняне применяли 60-ричный счёт, то есть «клин» мог обозначать и 1 и 60, в зависимости от своего положения, а «угол» – 10 и 600. Позже был введён специальный знак для обозначения нуля.

Из-за большого основания системы счисления для умножения и деления вавилонянам приходилось использовать целый набор таблиц, поскольку запомнить 1770 элементов практически невозможно. Для примера в используемой нами сейчас таблице умножения таких элементов всего 45. Поразрядное деление в то время ещё не было известно, и для его выполнения вавилоняне делали следующее: при необходимости разделить a на b они умножали a на обратный элемент к b, который брали из особых таблиц обратных элементов. Кроме таблиц обратных величин, вавилоняне пользовались и таблицами степеней.

Глиняная табличка с геометрическими задачами
Глиняная табличка с геометрическими задачами

Вавилоняне имели более развитые понятия об арифметической и геометрической прогрессии, чем египтяне. Так, им была известна формула нахождения суммы первых n членов арифметической прогрессии при известных первом и последнем членах. Вавилоняне нашли довольно интересное применение числовым последовательностям такого вида. Они использовали их для астрономических исследований, пытаясь выявить периодичность возникновения различных небесных явлений.

Большое внимание в клинописных текстах уделено решению уравнений и их систем, причём подавляющее большинство задач посвящено уравнениям второй степени, а не первой. Поскольку ни отрицательных, ни комплексных чисел вавилоняне не знали, то квадратные уравнения, не имеющие положительных корней, ими не рассматривались.

Геометрические знания вавилонян большей своей частью сводились к формулам вычисления площадей простейших фигур, таких как треугольник, трапеция и прямоугольник, поскольку именно они чаще всего использовались для межевания земельных участков. Однако в Вавилоне было сделано одно из фундаментальных открытий в геометрии, а именно, теорема Пифагора. Она встречается в вавилонских текстах примерно за 14 веков до того, как её доказал сам Пифагор.

Математика Древнего Египта и Древнего Вавилона имела в основном прикладной характер и была направлена на решение повседневных задач, но, несмотря на это, она оказала заметное влияние на дальнейшее развитие науки. В предыдущей статье мы обсуждали самые знаменитые математические книги Древней Греции, а в следующей поговорим о Древней Индии и Китае. Подписывайтесь на канал, чтобы не пропустить интересные материалы.

Самые знаменитые математические книги Древней Греции

Самые знаменитые математические книги Древней Индии и Китая

На портале Эрудит.Онлайн мы подготовили конкурс «Математика Древнего мира». Попробуйте дать 10 верных ответов на вопросы о математике Древнего Египта, Вавилона, Греции, Индии и Китая.

Конкурс «Математика Древнего мира»
Конкурс «Математика Древнего мира»

Также до 20 декабря идёт приём работ на IX Международную дистанционную олимпиаду по математике «Белоснежка и гномы». Задания и подробные условия участия доступны на сайте.

Олимпиада по математике «Белоснежка и гномы» для дошкольников, школьников, студентов и учителей
Олимпиада по математике «Белоснежка и гномы» для дошкольников, школьников, студентов и учителей

#математика #история математики #древний египет #древний вавилон #папирус