Математика Древнего Египта и Вавилона

2 December 2020
160 full reads
369 story viewsUnique page visitors
160 read the story to the endThat's 43% of the total page views
1,5 minute — average reading time

Сегодня математика является одной из самых развитых и сложных наук. Где же были сделаны первые шаги для её становления? «Пробуждающаяся наука» – так называется известная книга голландского математика Ван дер Вардена о математике Древнего Египта, Вавилона и Греции. О Древней Греции мы уже писали в предыдущей статье, в этой поговорим о Древнем Египте и Вавилоне.

Древний Египет

Основные математические тексты Древнего Египта написаны на папирусе. Самый большой сохранившийся текст – это папирус Ринда (Райнда), названный по имени владельца, который его приобрёл в 1858 г. Папирус имеет размер 5.25 м на 33 см и содержит 84 математические задачи, хранится в Британском музее в Лондоне. Кстати, второй по величине из сохранившихся математических папирусов, называется московским и хранится он в музее изобразительных искусств им. А. С. Пушкина в Москве.

Фрагмент папируса Ринда, Британский музей
Фрагмент папируса Ринда, Британский музей
Фрагмент папируса Ринда, Британский музей

При счёте египтяне использовали десятичную непозиционную систему счисления, аналогичную римской, только для изображения цифр ими применялись другие знаки:

Источник: https://hsto.org/files/2a0/ba1/ea2/2a0ba1ea2b064b69a5ab45459ae8b154.png
Источник: https://hsto.org/files/2a0/ba1/ea2/2a0ba1ea2b064b69a5ab45459ae8b154.png
Источник: https://hsto.org/files/2a0/ba1/ea2/2a0ba1ea2b064b69a5ab45459ae8b154.png

В папирусе Ринда приводятся правила действий с дробями. Египтяне использовали не все известные нам дроби, а только часть из них, а именно 1/2, 1/3, 2/3, 3/4, 1/4, 1/6, 1/8. Такие дроби, у которых в числителе стоит 1, называются аликвотными. По мере развития науки, к ним добавились другие дроби с числителем, равным единице, а также дроби, имеющие числитель на единицу меньший, чем знаменатель. Никаких других дробей египтяне написать не могли. Для обозначения остальных дробей они использовали суммы вышеприведённых. Например, 3/8 египтяне записывали как 1/4+1/8.

Кроме действий с дробями, в папирусе Ринда приводятся задачи для вычисления «аха» – аналога уравнений первой степени с одним неизвестным. Большое внимание уделено решению прикладных задач, таких как вычисление необходимого количества зерна для приготовления хлеба и перевод одних мер ёмкости и веса в другие.

Основные знания египтян в области геометрии относятся к вычислению объёмов и площадей различных фигур. Площади треугольников, прямоугольников и трапеций находились по тем же формулам, что мы используем и сейчас; площади остальных фигур – по приближённым. Главным достижением древних египтян в геометрии было очень хорошее приближение для формулы площади круга: они возводили 8/9 диаметра в квадрат. Таким образом, египтяне использовали наиболее приближенное к реальности значение числа пи, а именно 3,1605, когда в остальном мире пользовались значением 3. Для вычисления объёма таких тел, как цилиндр, призма, куб и параллелепипед египтяне умножали площадь основания на высоту.

Древний Вавилон

В Древнем Вавилоне для записи использовали глиняные таблички. Известно несколько сотен математических табличек, преимущественно учебного характера. Выделить какую-то отдельную табличку тут затруднительно. Именно в Вавилоне мы впервые встречаемся с позиционной системой счисления. Для изображения числа использовались всего 2 знака: «клин» и «угол». Вавилоняне применяли 60-ричный счёт, то есть «клин» мог обозначать и 1 и 60, в зависимости от своего положения, а «угол» – 10 и 600. Позже был введён специальный знак для обозначения нуля.

Из-за большого основания системы счисления для умножения и деления вавилонянам приходилось использовать целый набор таблиц, поскольку запомнить 1770 элементов практически невозможно. Для примера в используемой нами сейчас таблице умножения таких элементов всего 45. Поразрядное деление в то время ещё не было известно, и для его выполнения вавилоняне делали следующее: при необходимости разделить a на b они умножали a на обратный элемент к b, который брали из особых таблиц обратных элементов. Кроме таблиц обратных величин, вавилоняне пользовались и таблицами степеней.

Глиняная табличка с геометрическими задачами
Глиняная табличка с геометрическими задачами
Глиняная табличка с геометрическими задачами

Вавилоняне имели более развитые понятия об арифметической и геометрической прогрессии, чем египтяне. Так, им была известна формула нахождения суммы первых n членов арифметической прогрессии при известных первом и последнем членах. Вавилоняне нашли довольно интересное применение числовым последовательностям такого вида. Они использовали их для астрономических исследований, пытаясь выявить периодичность возникновения различных небесных явлений.

Большое внимание в клинописных текстах уделено решению уравнений и их систем, причём подавляющее большинство задач посвящено уравнениям второй степени, а не первой. Поскольку ни отрицательных, ни комплексных чисел вавилоняне не знали, то квадратные уравнения, не имеющие положительных корней, ими не рассматривались.

Геометрические знания вавилонян большей своей частью сводились к формулам вычисления площадей простейших фигур, таких как треугольник, трапеция и прямоугольник, поскольку именно они чаще всего использовались для межевания земельных участков. Однако в Вавилоне было сделано одно из фундаментальных открытий в геометрии, а именно, теорема Пифагора. Она встречается в вавилонских текстах примерно за 14 веков до того, как её доказал сам Пифагор.

Математика Древнего Египта и Древнего Вавилона имела в основном прикладной характер и была направлена на решение повседневных задач, но, несмотря на это, она оказала заметное влияние на дальнейшее развитие науки. В предыдущей статье мы обсуждали самые знаменитые математические книги Древней Греции, а в следующей поговорим о Древней Индии и Китае. Подписывайтесь на канал, чтобы не пропустить интересные материалы.

Самые знаменитые математические книги Древней Греции

Самые знаменитые математические книги Древней Индии и Китая

На портале Эрудит.Онлайн мы подготовили конкурс «Математика Древнего мира». Попробуйте дать 10 верных ответов на вопросы о математике Древнего Египта, Вавилона, Греции, Индии и Китая.

Конкурс «Математика Древнего мира»
Конкурс «Математика Древнего мира»
Конкурс «Математика Древнего мира»

Также до 20 декабря идёт приём работ на IX Международную дистанционную олимпиаду по математике «Белоснежка и гномы». Задания и подробные условия участия доступны на сайте.

Олимпиада по математике «Белоснежка и гномы» для дошкольников, школьников, студентов и учителей
Олимпиада по математике «Белоснежка и гномы» для дошкольников, школьников, студентов и учителей
Олимпиада по математике «Белоснежка и гномы» для дошкольников, школьников, студентов и учителей

#математика #история математики #древний египет #древний вавилон #папирус