2657 subscribers

Самые знаменитые математические книги Древней Греции

184 full reads

Античные учёные сделали очень много для развития математической науки. Из школьного курса мы помним теоремы Фалеса, Пифагора, Евклида. В каких же книгах были заложены основы современной алгебры и геометрии?

Самые знаменитые математические книги Древней Греции
Самые знаменитые математические книги Древней Греции

«Начала» Евклида

Одной из фундаментальных книг по математике до сих пор остаются «Начала» Евклида (III век до н.э.), поскольку описанная в них геометрия изучается во всех без исключения общеобразовательных заведениях и лежит в основе большинства практических задач человеческой деятельности. Также на евклидовой геометрии базируется классическая механика – один из обширнейших разделов физики, имеющий большое прикладное значение. Элементарная геометрия далеко не единственный предмет, который рассматривается в этой книге. Теория чисел, решение квадратных уравнений, учение об отношениях чисел и величин, квадратичные иррациональности составляют только часть вопросов, которым посвящены различные главы «Начал».

Евклид в представлении средневекового художника
Евклид в представлении средневекового художника

«Начала» разделены на 13 книг, каждая из которых начинается с определений. В первой книге также присутствуют 5 постулатов и 9 аксиом. Сначала рассказывается о планиметрии: представляются такие фигуры, как треугольники, прямоугольники и трапеции, перечисляются основные их свойства с доказательствами. В конце 1-й книги приводится и знаменитая теорема Пифагора: сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату его гипотенузы. Отдельные книги посвящены кругам, хордам и касательным, а также правильным многоугольникам. Книги 7-9 посвящены арифметике и теории чисел. Именно в 7 книге приводится знаменитый алгоритм Евклида для нахождения наибольшего общего делителя двух целых чисел. Заключают труд вопросы стереометрии и способы построения правильных многогранников. Более двух тысяч лет геометрию изучали по «Началам» Евклида. Настолько высок был авторитет этой книги, что появление в 19 веке геометрий, отличных от геометрий Евклида, вызывало огромное сопротивление и неприятие.

Влияние «Начал» на развитие математической науки было колоссальным: античные и средневековые учёные всегда опирались на них, проводя собственные исследования. Аксиоматический метод построения геометрии Евклидом более двух тысяч лет остаётся эталонным. При этом о самом Евклиде почти ничего неизвестно.

«Конические сечения» Аполлония

Наиболее известным сочинением о стереометрии, относящимся к тому времени, являются «Конические сечения» Аполлония Пергского (262 до н. э. – 190 до н. э.). В своём составе они имеют 8 книг, последняя из которых утеряна. В первой книге Аполлоний доказывает, что уравнения эллипса, гиперболы и параболы инвариативны относительно преобразований системы координат. Далее приводятся свойства асимптот и сопряжённых диаметров, уравнение гиперболы относительно асимптот и основные свойства эллипса и гиперболы. Последние имеют применение в теории фокусов. Также рассматриваются системы координат, зависящие уже от двух параметров. Пятая книга посвящена нормалям, проведённой из заданной точки, их количеству и свойствам. В седьмой книге приводятся знаменитые теоремы о сопряжённых диаметрах. Такие диаметры обладают следующим свойством – середины хорд, параллельных первому диаметру, лежат на втором диаметре, и наоборот. Самым наглядным примером таких диаметров служат 2 перпендикулярных диаметра эллипса.

«Конические сечения» Аполлония, изданные в 1566 году в Болонье
«Конические сечения» Аполлония, изданные в 1566 году в Болонье

Аполлонию принадлежит множество новых и смелых идей. Так, например, он предложил ввести эпициклы и эксцентрические окружности для описания видимого движения Солнца и планет.

«Арифметика» Диофанта

После Аполлония античная наука приходит в упадок, новых идей и исследований практически не появляется. На этом фоне резко выделяется Диофант Александрийский (III век н. э.) – последний великий математик древности, заложивший в своём сочинении «Арифметика» основы алгебраической науки. Изначально «Арифметика» состояла из 13 книг, из них до нашего времени сохранилось только 6, содержащих 189 задач с решениями. Именно в «Арифметике» впервые используется ставший традиционным для алгебры язык буквенных обозначений. Также Диофант вводит знак равенства, подробно описывает правила алгебраических операций, например, таких как умножение и деление степеней неизвестного.

Одно из многочисленных переизданий «Арифметики» Диофанта
Одно из многочисленных переизданий «Арифметики» Диофанта

В «Арифметике» описаны неопределённые уравнения, имеющие бесконечно много решений, которые впоследствии были названы по имени учёного диофантовыми. Однако сам Диофант ищет не все решения, а удовлетворяется каким-либо одним положительным рациональным значением, неважно, целым или дробным. В современной науке способы решения произвольных диофантовых уравнений являются популярным объектом для исследований, однако, несмотря на то, что этой проблемой занимались многие выдающиеся математики, в том числе П. Ферма, Л. Эйлер, А. Пуанкаре и Д. Гильберт, результатов получено немного. Методом спуска можно найти общее решение линейного диофантова уравнения вида ax + by = c. Решения квадратного уравнения x² + y² = c² называются пифагоровыми тройками. Именно на полях этой книги в 1637 году выдающийся французский математик Пьер Ферма оставил комментарий, который впоследствии получил название Великой или Последней теоремы Ферма:

Наоборот, невозможно разложить куб на два куба, биквадрат на два биквадрата и вообще никакую степень, большую квадрата, на две степени с тем же показателем. Я нашёл этому поистине чудесное доказательство, но поля книги слишком узки для него.

В 1995 году Великая теорема Ферма была доказана Эндрю Уайлсом, но до сих пор продолжаются споры о том, мог ли Ферма доказать свою теорему.

Современная математика многое взяла из исследований, проведённых в Древней Греции. Теория делимости чисел, неопределённые уравнения, теория конических сечений и многие другие достижения древнегреческий науки определили вектор дальнейшего развития математики на следующие несколько веков.

В следующей статье мы расскажем о самых знаменитых книгах Древнего Китая и Индии, Египта и Вавилона. Поставьте нам лайк и подпишитесь, чтобы не пропустить интересные материалы.

Самые знаменитые математические книги Древней Индии и Китая

Математика Древнего Египта и Вавилона

На портале Эрудит.Онлайн мы подготовили конкурс «Математика Древнего мира». Попробуйте дать 10 верных ответов на вопросы о математике Древнего Египта, Вавилона, Греции, Индии и Китая.

Конкурс «Математика Древнего мира»
Конкурс «Математика Древнего мира»

Также до 20 декабря идет прием работ на IX Международную дистанционную олимпиаду по математике «Белоснежка и гномы». Задания и подробные условия участия доступны на сайте.

Олимпиада по математике «Белоснежка и гномы» для дошкольников, школьников, студентов и учителей
Олимпиада по математике «Белоснежка и гномы» для дошкольников, школьников, студентов и учителей

#геометрия #алгебра #древняя греция #античная греция