Зачем нужно уравнение роста рыбы? Рыбаку, может, и незачем, а вот в хозяйстве незаменимо

Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Ну что, любители прикладной математики будут несомненно рады: сегодня мы отойдем от абстрактных категорий и задач о четырех колышках в сторону максимально практичных задач.

А именно поговорим об одном уравнении, которое моделирует изменение длины особи в популяции рыб, что, на самом деле, очень важная задача, решение которой является необходимым для рационального использования рыбных ресурсов и широко используется в рыбохозяйственной отрасли при прогнозировании объёмов вылова.

Одно из таких уравнений носит имя австрийского биолога Людвига фон Берталанфи (1901-1972).

Этот человек известен не только как автор уравнения, описывающего длину рыб. Он является основоположником т.н. общей теории систем - научного и методологического подхода к исследованию самых разных объектов, в т.ч. живых организмов. В частности для этого Берталанфи ввёл понятие открытой системы, которая характеризуется постоянным обменом веществом и энергией с внешней средой. Источник: https://pbs.twimg.com/media/CPQ0mSCWsAAvNci.jpg

Рассмотренная им зависимость длины рыбы в зависимости от её возраста описывается следующим уравнением:

, где:

• L - средняя предельная длина рыбины;
• K - коэффициент скорости роста;
• t0 - теоретическая величина, которая равна длине рыбы в "нулевом" возрасте (потому и теоретическая);
• t - возраст рыбы.

Замечу, что указанное уравнение работает только для рыб промысловых размеров, и для мальков не предназначено.

А теперь, с Вашего позволения, немного простой математики...

Давайте-ка продифференциируем функцию длины, ведь, как известно, первой производной будет скорость роста рыбы:

Если кратко: после нахождения производной, мы подставили в её выражение исходную функцию (показано стрелкой)

Полученное уравнение имеет все признаки линейной зависимости. Действительно, найдем значение функции скорости в нулевой момент времени (рождение), а также в момент, когда скорость роста рыбы остановится (смерть):

Обращаю внимание, что это график скорости роста, а не изменения длины рыбы

Полученная зависимость, в целом, подтверждает предположение, что скорость роста рыбы замедляется по мере достижения некоторых предельных размеров, однако представляет собой линейную модель.

Первой проблемой при попытках расчета по уравнению Берталанфи является поиск неизвестных коэффициентов K (коэф. роста) и L (средняя предельная длина) и t0 (длины рыбы в нулевом возрасте).

Зависимость длины рыбы от времени. Источник: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b9/Bulletin_-_Southern_California_Academy_of_Sciences_%282011%29_%2820495253222%29.jpg/1200px-Bulletin_-_Southern_California_Academy_of_Sciences_%282011%29_%2820495253222%29.jpg

Лучший способ это сделать - физически вылавливать рыбу в равномерно расположенные моменты времени (точки на графике), а затем проводить измерение её длины (в статьях упоминается, что средняя погрешность такого измерения составляет 0,1 см), а также возраста.

Кстати, знаете как измеряется возраст рыбы?

Оказывается на слуховых камнях рыб - отолитах - есть кольца, аналогичные годовым кольцам древесины. Я не рыбак, поэтому удивился. Источник: https://1.bp.blogspot.com/-dlK_nBJDRjg/T7P7uqGMzXI/AAAAAAAAAIo/RLYUD8OOtiM/s1600/Ageing+cod.tif

В найденных мною материалах проводились последовательные выловы тихоокеанской пеламиды (американское исследование 1987 года "Length-based Methods in Fisheries Research"), черноморского шпрота и европейского анчоуса (уже отечественного разлива). Оказалось, что эмпирика достаточно хорошо подтверждает теорию:

Пунктирными линиями отмечена область, в которую измеренная величина попадет с 95% вероятностью

Выше показано уравнение, полученное крымскими ихтиологами в 2017 году, описывающее изменение длины хамсы в зависимости от её возраста.

Конечно, уравнение Берталанфи - это не панацея. Однако с другой стороны - еще один удивительный пример применения математики на практике.

Если Вам понравился данный материал, поддержите его лайком, а канал - подпиской.