Найти в Дзене
Александр Долгих

Математический закон, в который сложно поверить, но он работает и помогает ловить мошенников — Закон Бенфорда

Каков шанс, что любое случайно взятое из какой-нибудь энциклопедии, книги или газеты число начнется с цифры "1"? А с цифры "3"? А с цифры "9"? Даже если ты не имеешь никакого понятия о теории вероятности, чисто интуитивно кажется, что шанс одинаков для каждой цифры и равен 100:9=11,(11)%.

Но нет, это не так. Если посмотреть на реальные числа, которые встречаются в жизни, а не придуманы от балды, чисел, которые начинаются с девятки намного меньше, чем 11% (на самом деле около 4%), а с единицы число будет начинаться почти в трети случаев (примерно 30%).

Иными словами, если вы будете читать газеты, чаще всего вам будут встречаться числа, начинающиеся с "1", чуть реже с "2", ещё чуть реже с "3" и так далее, а реже всего будут попадаться числа на "9". Если без формул и уточнений, то это и есть закон Бенфорда.

Несмотря на кажущуюся невозможность, противоречивость теории вероятности, здравому смыслу и невозможность, он работает на всех реальных числах, если они не имеют естественных ограничений (типа рост человека или IQ).

Этот закон работает с ценами на акции, длинами рек, населением стран, площадями, числами в газетах, книгах и справочниках, рецептами, статистикой бейсбольных матчей. И даже атомный вес элементов таблицы Менделеева подчиняется этому закону.

Первые цифры чисел из энциклопедий.
Первые цифры чисел из энциклопедий.

Вообще Закон Бенфорда было бы логичнее назвать Законом Ньюкомба. Именно Саймон Ньюкомб примерно в 1881 году обратил внимание на эту странную закономерность, когда взял в библиотеке тетрадь с логарифмическими таблицами.

Он обратил внимание на то, что страницы тетради, на которых были числа, начинающиеся на единицу, были гораздо сильнее потрепаны и затроганы, нежели страницы где были числа, начинающиеся на "2" и так далее. А страницы с числами на "8" и "9" были и вовсе почти как новые, такое чувство, что их никто никогда не открывал.

Спустя чуть больше полувека в 1938 году подобное заметил Френк Бенфорд. Причем при тех же обстоятельствах. Он тоже листал тетрадь с логарифмическими таблицами в научно-исследовательской лаборатории General Electric и обнаружил, что частота появления цифры в качестве первой падает по мере того, как цифра увеличивается от одного до девяти.

Он даже примерно подсчитал частоту появления цифр. Для единицы это 30,1%, для двойки — 17,6%, для тройки — 12,5% и так далее до девятки — 4,6%, смотри картинку ниже.

Изображение: telemetr.me
Изображение: telemetr.me

Проблема была в том, что несмотря на то, что закон работал с почти всеми реальными числами, доказать его не смогли ни Ньюкомб, ни Бенфорд. Доказал этот закон Тед Хилл лишь в 1995 году.

Что странно: заметил Закон Ньюкомб, доказал — Хилл, а назвали его именем Бенфорда. Хотя в некоторых странах справедливость всё-таки есть и закон называют двойной фамилией Законом Ньюкомба-Бенфорда.

Борьба с мошенничеством с помощью закона Бенфорда

Не будем вдаваться в подробности доказательства, лучше поговорим о практическом применении этого закона. Во-первых, с помощью Закона Бенфорда можно находить мошеннические схемы. Например, в бухгалтерском учете или переводах со счета на счет. В 90-ые Марк Нигрини даже создал специальную компьютерную программу для выявления финансовых махинаций.

Дело в том, что когда данные вносятся искусственно, человек не может придумать их поистине случайно и распределение начинает отличаться от бенфордского. Разумеется, этот факт не может являться доказательством мошенничества, отмывания денег или вбросов, но это вызывает подозрение и появляется повод устроить более детальную проверку.

Во-вторых, с помощью Закона Бенфорда можно проверить, были ли вбросы на выборах. Как и в случае с финансовым мошенничеством, неправильность распределения не может служить доказательством в суде, но это повод покопаться глубже или использовать данные для антипиара, ведь СМИ могут преподнести график с тем соусом, который нужен.

И все же надо сказать, что в ряде случаев, в том числе в случае с выборами, закон Бенфорда работать не будет. Если все округи и районы охватывают примерно одно и то же население (один и тот же порядок), то закон работать не будет так же, как и в случае с вестом или ростом людей.

-5

Отличный пример — Чикаго (смотри график выше), по поводу которого было много шума. Огород демократов засыпали камнями после появления этого графика в СМИ. Однако, если взглянуть на проблему глубже, скорее будут вопросы к республиканцам, потому как население 98,7% округов состоит в одном порядке (так же, как в Британских избирательных округах), а значит, закон Бенфорда здесь и не должен выполняться. Проблема в том, что мало кто разбирается в этом, чтобы понимать такие нюансы.

Надеюсь, было не слишком занудно и долго, так что если дочитали до конца ставьте лайк, подписывайтесь на мой Ютуб-канал и вот, что ещё будет интересно:

Что-то пошло не так, и нам не удалось загрузить комментарии. Попробуйте ещё раз
Рекомендуем почитать
Вот что всегда губило древние империи (и мы никогда об этом не говорим)
Не упадок нравов, войны или бюрократия, а нечто другое Обсуждение и споры о падении великих империй – это популярная тема как за обеденными столами, так и в классах по всему миру. Роль упадка нравов, бюрократии и военных неудач занимает центральное место в этих обсуждениях. Но есть одна вещь, которая снова и снова возникает в связи с падением крупных империй и о которой нужно говорить больше. Это – границы. Защита, патрулирование, контроль и налогообложение обширных и отдаленных границ приносили империям больше проблем, чем что-либо другое...
Сложение с подвохом: что мы до сих пор не понимаем в 1 + 1? Гипотеза Эрдеша о множествах без суммы
Возьмём, к примеру, сложение. Одна из первых истин, которые мы усваиваем: 1 плюс 1 — это 2. Казалось бы, операция элементарная. Но даже она продолжает порождать у математиков вопросы без чётких ответов. Какие глубинные закономерности заложены в сложении? — до сих пор остаётся открытым. «Это фундаментальная операция, — отмечает Бенджамин Бедерт, аспирант Оксфорда, — и тем не менее в ней до сих пор много загадок». В попытке разобраться в природе сложения, математики заодно пытаются установить его предельные границы...
Как математика доказала, что Зенон ошибался, а физика — что он был прав
Почему абсурдные парадоксы Зенона вызвали две тысячи лет споров Один бородатый мудрец сказал: движения нет. Другой, молча, прошёл перед ним. Ответить лучше он не сумел; все его за это полюбили И согласились — тот довод поверг в прах. Но можно взглянуть на всё иначе — Мне вот другая мысль смешная пришла: Мы видим, как солнце движется в небе весь день, Но упрямый Галилей был, увы, прав. ~ «Движение», Александр Пушкин Если вы хотите читать больше интересных историй, подпишитесь на наш телеграм канал: https://t...
Документы, вакансии и контакты