4187 subscribers

Гений 19 века, великий математик -новатор Бернхард Риман. Его вклад в науку

1k full reads

Выдающийся немецкий математик Бернхард Риман, был заметной фигурой в математике 19 века. Во многих отношениях он был интеллектуальным преемником Гаусса. В геометрии он начал разработку тех инструментов, которые Эйнштейн в конечном итоге использовал для описания Вселенной и которые в 20-м веке превратятся в теорию многообразий. Он внес значительный вклад в область анализа, в которой его имя сохранилось в интеграле Римана, уравнениях Коши – Римана и римановых поверхностях. Он также установил связь между теорией простых чисел и анализом: он сформулировал гипотезу Римана о так называемой дзета-функции, которая, если она будет доказана, даст информацию о распределении простых чисел.

Гений 19 века, великий математик -новатор Бернхард Риман. Его вклад в науку

О Бернхарде Римане известно немного. Он не оставил никаких документов, позволяющих судить о его внутренней жизни, — за исключением того, что можно почерпнуть из его писем. Его современник и друг Рихард Дедекинд оказался единственным близким к Риману человеком, оставившим подробные воспоминания. Но и они занимают всего 17 страниц и проясняют не так много.

Бернхард  Риман - (1826–1866, 39 лет) выдающийся немецкий математик, механик и физик. Член Берлинской и Парижской академии наук, Лондонского королевского общества
Бернхард Риман - (1826–1866, 39 лет) выдающийся немецкий математик, механик и физик. Член Берлинской и Парижской академии наук, Лондонского королевского общества

Георг Фридрих Бернхард Риман родился 17 сентября 1826 года в деревушке Брезеленц на востоке королевства Ганновер.

Брезеленц, Нижней Саксониия, место где родился Риман
Брезеленц, Нижней Саксониия, место где родился Риман

Эта часть королевства известна под названием Вендланд; «венд» — старое немецкое название говорящих по-славянски народов, живших в этих землях. Вендланд был самой западной точкой, достигнутой славянами в ходе великого славянского переселения VI века. Само название «Брезеленц» происходит от слова «береза». Однако с самого конца Средневековья в Вендланде постоянно оседало немецкое население, и ко временам Римана это в значительной степени определило его состав. Вендланд был, да и остается, до некоторой степени захолустьем. В настоящее время это наименее густонаселенный район земли Нижняя Саксония.

Отец Римана Фридрих Бернхард Риман был лютеранским священником и ветераном войн с Наполеоном. Уже в зрелом возрасте он женился на Шарлотте Эбелль. Бернхард, бывший вторым ребенком в семье, испытывал особенно тесную привязанность к своей старшей сестре Иде (свою дочь он назовет этим же именем). За ним родились еще четверо детей — мальчик и три девочки. С точки зрения современного жизненного уровня, который мы склонны воспринимать как само собой разумеющийся, нелегко представить себе тяготы, которые приходилось преодолевать немолодому уже деревенскому священнику ради содержания жены и шестерых детей в бедном и малоразвитом районе на задворках государства в начале XIX столетия. Из шести детей Риманов только Ида прожила достаточно долго. Все остальные умерли рано, одной из причин чего могло быть плохое питание в детстве. Мать Римана также умерла рано, еще до того, как ее дети выросли.

Когда Бернхард был еще ребенком, его отец получил новый приход в Квикборне, в нескольких милях от Брезеленца и ближе к великой реке. Квикборн и сегодня сонная деревня, состоящая из обшитых деревом домов и в основном немощеных улиц, по краям которых растут мощные старые дубы. Это местечко, еще меньшее, чем Брезеленц, оставалось домом для всей семьи до смерти старшего Римана в 1855 году. Оно было средоточием эмоционального мира Бернхарда практически до тридцатилетнего возраста. При каждой возможности он стремился вернуться туда и побыть в кругу семьи — единственном обществе, где он чувствовал себя легко.

Панорама Квикборна
Панорама Квикборна

В 19 веке Квикборн - это равнинная, сырая местность; открытый ветрам, освещаемый лишь керосиновыми лампами и свечами, недостаточно отапливаемый зимой и плохо проветриваемый летом дом; долгие периоды болезней домашних, никто из которых не отличался крепким здоровьем (все, по-видимому, болели туберкулезом); один и тот же узкий круг общения семьи священника в отдаленной деревушке; однообразная пища. Как они все это переносили? Они не знали лучшей доли, а простой сердечной привязанности и любви порой достаточно, чтобы участием поддержать человеческий дух среди невзгод.

В Квикборне не было гимназии, и Риман начал по-настоящему учиться в школе лишь в четырнадцатилетнем возрасте, что соответствовало четвертому классу гимназии. Сама гимназия находилась в городе Ганновере, столице королевства, в 80 милях от Квикборна. Выбор в пользу Ганновера определялся тем, что там жила бабушка Бернхарда по материнской линии, и это позволяло семье Риман сэкономить на плате за проживание. До поступления в гимназию Римана обучал отец.

Четырнадцатилетнему Риману пришлось в Ганновере несладко: он был смертельно застенчив и к тому же сильно тосковал по дому. Его единственным внеклассным занятием, насколько нам известно, был поиск доступных ему по карману подарков, которые он посылал на дни рождения родителям, братьям и сестрам. После смерти бабушки в 1842 году ситуация несколько поправилась — Римана перевели в другую гимназию, на этот раз в городе Люнебург. Вот как Дедекинд описывает новое положение дел:

"Большая близость к дому и представившаяся в силу этого возможность проводить каникулы вместе с семьей добавили немного счастья в его более поздние школьные годы. Нет сомнения, что путешествия туда и обратно, в основном совершавшиеся пешком, изматывали его физически, как никогда ранее.[10] Его мать, которую, увы, ему скоро предстояло потерять, выражала в своих письмах сильное беспокойство по поводу его здоровья, прибавляя многочисленные сердечные предупреждения, чтобы он избегал слишком больших физических нагрузок" Рихард Дедекинд

Не похоже, чтобы Риман был хорошим учеником. При его складе ума он мог сосредоточиваться только на вещах, которые он находил интересными; по большей части это была математика. Кроме того, он был перфекционистом, для которого скрупулезность в написании безупречного сочинения была важнее срока, в который он это сочинение напишет. Чтобы подтянуть его в плане школьных занятий, директор устроил так, что Риман поселился вместе с учителем древнееврейского языка по фамилии Зеффер или Зайфер. Заботами этого господина Риман настолько улучшил успеваемость, что в 1846 году его приняли в Геттингенский университет на богословский факультет. Предполагалось, что он станет священником, как и его отец.

Геттингенский университет 19 век
Геттингенский университет 19 век

Одно существенное обстоятельство делало Геттинген привлекательным местом для молодого Римана. Геттингенский университет был университетом Карла Фридриха Гаусса, величайшего математика своего времени (а возможно, и всех времен).

Карл Фридрих Гаусс 1777–1855. Считается одним из величайших математиков всех времён, «королём математиков», не уступающий по рангу Ньютону или Архимеду. Родился в Брауншвейге, в семье крестьян. Гениальные способности в математике проявил уже в раннем детстве,
Карл Фридрих Гаусс 1777–1855. Считается одним из величайших математиков всех времён, «королём математиков», не уступающий по рангу Ньютону или Архимеду. Родился в Брауншвейге, в семье крестьян. Гениальные способности в математике проявил уже в раннем детстве,

Когда Риман прибыл в Геттинген, Гауссу было 69 лет. Его лучшие работы были уже сделаны, а преподавал он немного, относясь к преподаванию как к пустой трате времени. Однако его присутствие в любом случае должно было произвести впечатление на Римана, который к этому моменту уже заразился вирусом математики. Известно, что Риман ходил на лекции Гаусса по линейной алгебре и на лекции Морица Штерна по теории уравнений. В какой-то момент в течение академического 1846-47 года Риман, по-видимому, признался отцу, что его куда более интересует математика, нежели теология; отец, судя по всему, бывший добрым родителем, признал сделанный сыном выбор жизненного поприща. Так Бернхард Риман стал математиком.

В 1847 году Бернхард Риман переходит в Берлинский университет, где слушает лекции Дирихле, Якоби и Штейнера. В 1849 году он возвращается в Гёттинген. Там Риман знакомится с Вильгельмом Вебером, который становится его учителем и близким другом. Годом позже приобретает ещё одного друга – Рихарда Дедекинда.

В 1851 году Риман защищает диссертацию «Основания теории функций комплексной переменной», где было впервые введено понятие, позже получившее известность как риманова поверхность.

С 1854 года Бернхард Риман  работает в Гёттингенском университете. За следующие 10 лет он преобразовал сразу несколько разделов математики.

Эпохальное событие для геометрии - исторический доклад Римана «О гипотезах, лежащих в основании геометрии», 1857 г

Чтобы претендовать на должность экстраординарного профессора, Риман по уставу должен был выступить перед профессорским составом. В 1857 году присутствии Гаусса Риман читает исторический доклад «О гипотезах, лежащих в основании геометрии», с которого ведёт своё начало риманова геометрия. Доклад, впрочем, не помог – Римана не утвердили. Однако текст выступления был опубликован (хотя и с большим опозданием – в 1868 году, уже после смерти учёного), и это стало эпохальным событием для геометрии.

В этом знаменитом докладе Риман определил общее понятие n-мерного многообразия и его метрику в виде произвольной положительно определённой квадратичной формы. Далее Риман обобщил гауссову теорию поверхностей на многомерный случай; при этом был впервые введён тензор кривизны и другие понятия римановой геометрии. Существование метрики, по Риману, объясняется либо дискретностью пространства, либо некими физическими силами связи – здесь он предвосхитил общую теорию относительности. Альберт Эйнштейн писал:

"Риман первый распространил цепь рассуждений Гаусса на континуумы произвольного числа измерений, он пророчески предвидел физическое значение этого обобщения евклидовой геометрии" Эйнштейн
Гений 19 века, великий математик -новатор Бернхард Риман. Его вклад в науку

Риман также первым высказал предположение, что геометрия в микромире может отличаться от трёхмерной евклидовой геометрии. В другом месте этого доклада Риман указал, что допущения евклидовой геометрии должны быть проверены также и «в сторону неизмеримо большого», то есть в космологических масштабах. Риман является создателем геометрического направления теории аналитических функций. Он ввёл носящие его имя поверхности (римановы поверхности)

При этом Риман развивает общую теорию многозначных комплексных функций, построив для них «римановы поверхности». Он использует не только аналитические, но и топологические методы; позднее его труды продолжил Анри Пуанкаре, завершив создание топологии.

В 1857 году Риман публикует классические труды по теории абелевых функций и аналитической теории дифференциальных уравнений.

Работа Римана  «Теория абелевых функций» была важным шагом в бурном развитии этого раздела анализа в XIX веке. Риман ввёл понятие рода абелевой функции, классифицировал их по этому параметру и вывел топологическое соотношение между родом, числом листов и числом точек ветвления функции.

Вслед за Коши, Риман рассмотрел формализацию понятия интеграла и ввёл своё определение – интеграл Римана. Развил общую теорию тригонометрических рядов, не сводящихся к рядам Фурье.

В 1859 году, после смерти Дирихле, Бернхард Риман – ординарный профессор Гёттингенского университета. Вместе с Дедекиндом совершает поездку в Берлинский университет, где общается с Вейерштрассом, Куммером, Кронекером. После чтения там знаменитой работы «О числе простых чисел, не превышающих заданной величины» избран членом Берлинской академии наук.

Рихард Дедекинд (1831 - 1916) выдающийся немецкий математик, известный работами по общей алгебре и основаниям вещественных чисел. Ученик Гаусса и Дирихле. Член Берлинской, иностранный член Римской и Французской академий наук.
Рихард Дедекинд (1831 - 1916) выдающийся немецкий математик, известный работами по общей алгебре и основаниям вещественных чисел. Ученик Гаусса и Дирихле. Член Берлинской, иностранный член Римской и Французской академий наук.

Исследование Риманом распределения простых чисел имело большой резонанс. Он дал интегральное представление дзета-функции (ζ-функция Римана)

ζ(s) = 1–s + 2–s + 3–s + ... ,

исследовал её полюса и нули, вывел приближённую формулу для оценки количества простых чисел через интегральный логарифм.

Риман стал одним из основоположников классической газовой динамики. Именно ему механика обязана понятием об ударных волнах. Явление образования ударных волн в потоке сжимаемого газа впервые было обнаружено не экспериментально, а теоретически – в ходе проводившегося Риманом изучения решений уравнений движения газа.

В 1862 году Бернхард Риман женился на Эльзе Кох, подруге покойной сестры. У них родилась дочь Ида. К несчастью, вскоре после женитьбы Риман, никогда не отличавшийся крепким здоровьем, простудился и серьёзно заболел плевритом. Оправиться от этой болезни ему было не суждено.

В последние годы своей недолгой жизни Риман был удостоен многочисленных почестей, получил признание ведущих ученых, был избран членом различных научных обществ, в том числе Лондонского Королевского общества и Французской Академии наук.

Последние четыре года жизни учёный провел в Италии. 20 июля 1866 года Риман скончался от туберкулёза в возрасте 39 лет.

Предложенные великим математиком Бернхардом Риманом идеи и методы раскрыли новые пути в развитии математики. И, несмотря на то, что он написал немного работ, а напечатал еще меньше, любая из них отличалась огромной важностью и множеством новых идей. Некоторое понятие о том, как много сделал Риман для развития математики, может дать перечень математических объектов, носящих его имя:

гипотеза Римана, гипотеза Римана для кривых над конечными полями, дзета-функция Римана, инварианты Римана, интеграл Римана, интеграл Римана – Стилтьеса, производная Римана, риманова кривизна, риманова геометрия (многомерное обобщение геометрии), геометрия Римана (эллиптическая геометрия), риманова поверхность, риманово пространство, сфера Римана, сферическая геометрия Римана, соответствие Римана – Гильберта, тензор Римана, теорема Римана из теории конформных отображений, теорема Римана об условно сходящихся рядах, теорема Римана об устранимой особой точке, теорема Римана – Роха, условия Коши – Римана, инвариант Римана, леммы Римана-Лебега, матрица Римана, формулы Римана – Зигеля, тета-функции Римана – Зигеля, вектор Римана – Зильберштейна, сумма Римана, псевдориманово многообразие, риманова связность

Психологический портрет Римана

Из коротких воспоминаний друга Римана математика Дедекинда, можно сделать следующие выводы:

1. Риман был чрезвычайно застенчивым человеком. Он избегал человеческих контактов настолько, насколько это удавалось, и неуютно чувствовал себя в кругу других людей. Его единственные близкие привязанности — а они были и правда очень близкими — концентрировались в семье, а какие бы то ни было другие связи, если и возникали, касались математики и математиков. Когда он находился вдали от семьи, от дома отца в его приходе Квикборн, он страдал от тоски.

2. Он был очень набожным, в духе немецкого протестантизма (Риман был лютеранином). По его убеждению, суть религии, если буквально переводить с немецкого, как об этом пишет Дедекинд, заключалась в том, чтобы «ежедневно ответствовать за себя пред лицом Господа».

3. Он глубоко размышлял о философии и рассматривал свою работу в сфере математики в более широком философском контексте.

4. Он был ипохондриком («подверженный депрессиям»). Дедекинд ясно дает понять, что Риман был подвержен наплывам очень глубокой печали, в особенности после смерти своего отца, которого он боготворил. Способом справиться с этим для Римана было погружение в работу.

5. Он никогда не отличался хорошим здоровьем; особенно разрушительное влияние на него оказали долгие годы лишений, которым в Саксонии, в те времена бедному человеку приходилось подвергать себя, если он намеревался получить высшее образование.

Спасибо за внимание!