Ещё одно решение 25-ого задания ОГЭ на вневписанную окружность (P.S: боящимся громоздких вычислений не заходить)

Приветствую вас на моём канале! В этой статье мы разберём решение задачи на вневписанную окружность, основанное на подобии треугольников и формуле Герона для четырёхугольника. Поехали!

Основание AC равнобедренного треугольника ABC равно 72. Окружность радиусом 54 с центром вне этого треугольника касается продолжений боковых сторон треугольника и касается основания AC. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.

Начнём с рисунка.

Ещё одно решение 25-ого задания ОГЭ на вневписанную окружность (P.S: боящимся громоздких вычислений не заходить)

Начертим такой радиус OR окружности с центром в точке O, чтобы он был перпендикулярен AC. Тогда AC -- касательная окружности с центром в точке O (что мы и так знаем из условия). Нарисуем другой радиус, который будет с OR лежать на одной прямой, и назовём его OS. Вот что получится.

Ещё одно решение 25-ого задания ОГЭ на вневписанную окружность (P.S: боящимся громоздких вычислений не заходить)

Теперь проведём касательную к окружности, проходящую через точку S, и обозначим точки пересечения этой касательной с лучами BA и BC как D и E. Докажем, что DE||AC. RO и OS лежат на одной прямой, значит, OS -- диаметр окружности. По свойству касательной OR (или RS) перпендикулярен AC и OS (или RS) перпендикулярен DE. Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны, и поэтому DE||AC.

Ещё одно решение 25-ого задания ОГЭ на вневписанную окружность (P.S: боящимся громоздких вычислений не заходить)

По свойству углов при параллельных прямых и секущей соответственные углы равны. То есть ∠BDE=∠BAC (1); ∠BED=∠BCA (2). В равнобедренном треугольнике ABC углы при основании равны: ∠BAC=∠BCA (3). Исходя из (1), (2) и (3), ∠BDE=∠BED.

Ещё одно решение 25-ого задания ОГЭ на вневписанную окружность (P.S: боящимся громоздких вычислений не заходить)

△BDE подобен △BAC по двум углам: (1) и (2). Для нахождения радиуса окружности, вписанной в треугольник ABC, нам понадобится только соотношение оснований этих подобных равнобедренных треугольников. Мы приступаем к нахождению коэффициента подобия, который поможет на последнем шаге найти радиус окружности, вписанной в △BAC. Обозначим DE как a, AC=72 по условию.

Ещё одно решение 25-ого задания ОГЭ на вневписанную окружность (P.S: боящимся громоздких вычислений не заходить)

Рассмотрим трапецию ACED. Она равнобедренная, так как углы при основании у неё равны (∠BDE=∠BED). Сумма углов при боковой стороне трапеции равна 180°. Из этого и того, что ∠ADE=∠CED, получаем, что ∠CAD=∠ACE. Так как ∠CAD+∠ADE=180° и ∠ADE=∠CED, получаем, что ∠CED+∠ADE=180°. Сумма противоположных углов у четырехугольника равна 180°, и поэтому около него можно описать окружность. А если около четырехугольника можно описать окружность, то найти его площадь можно по формуле Герона. Для четырехугольника формула выглядит следующим образом:

p -- полупериметр, a, b, c, d -- стороны
p -- полупериметр, a, b, c, d -- стороны
p -- полупериметр, a, b, c, d -- стороны

Кроме того, у трапеции ACED противоположные стороны равны, так как в неё вписана окружность. Так как AC=72, DE=a и AD=CE, AD+CE=36+a/2.

Полупериметр трапеции ACED равен AC+DE+AD+CE=((72+a)+(72+a))/2=72+a.

Вставляем стороны и полупериметр в формулу Герона.

Ещё одно решение 25-ого задания ОГЭ на вневписанную окружность (P.S: боящимся громоздких вычислений не заходить)

Площадь трапеции ACED можно найти и по классической формуле: полусумму оснований перемножаем на высоту, которая в нашем случае будет равна двум радиусам (вспомните диаметр RS), то есть 54*2=108 (из условия).

Ещё одно решение 25-ого задания ОГЭ на вневписанную окружность (P.S: боящимся громоздких вычислений не заходить)

Выносим (36+a/2)^2 из-под знака корня.

Ещё одно решение 25-ого задания ОГЭ на вневписанную окружность (P.S: боящимся громоздких вычислений не заходить)

Делим левую и правую часть на 36+a/2, так как 36+a/2>0 с точки зрения геометрии.

Ещё одно решение 25-ого задания ОГЭ на вневписанную окружность (P.S: боящимся громоздких вычислений не заходить)

Из этого уравнения мы видим, что a не может быть отрицательным или равным нулю. Отрицательный корень сразу отсеиваем.

Возводим уравнение в квадрат.

Ещё одно решение 25-ого задания ОГЭ на вневписанную окружность (P.S: боящимся громоздких вычислений не заходить)

Делим левую и правую часть на 72.

Ещё одно решение 25-ого задания ОГЭ на вневписанную окружность (P.S: боящимся громоздких вычислений не заходить)

Мы нашли нижнее основание трапеции. Оно является основанием большего из равнобедренных подобных треугольников. Считаем коэффициент подобия.

Ещё одно решение 25-ого задания ОГЭ на вневписанную окружность (P.S: боящимся громоздких вычислений не заходить)

В подобных треугольниках выполняется соотношение для соответственных отрезков, в том числе и радиусов вписанных окружностей. В большем треугольнике радиус окружности равен 54 -- значит, радиус окружности в меньшем треугольнике будет в 9/4 раза меньше.

Ещё одно решение 25-ого задания ОГЭ на вневписанную окружность (P.S: боящимся громоздких вычислений не заходить)

Радиус вписанной окружности треугольника ABC равен 24.

Ответ: 24.

Итак, задача решена. Этот способ решения подходит тем, кто не хочет делать большое количество дополнительных построений и применять кучу геометрических свойств.

Благодарю за прочтение статьи! Высказывайте свое мнение о решении этой задачи, задавайте вопросы. Скоро на канале появятся задачи курса 10-11 класса. До встречи!

#огэ по математике #9 класс #математика #геометрия #алгебра