Как устроена бесконечность?

20 February 2019

Люди всегда были убеждены, что Вселенная имеет границы. Например, считали, что наш мир – это круглый диск, накрытый сверху небесным куполом. А византийский путешественник Козьма Индикоплов уверял, что наш мир и вовсе похож на четырёхугольный сундук. 

Вселенная по Козьме Индикоплову
Вселенная по Козьме Индикоплову

Но, если мир похож на сундук, что же тогда находится снаружи этого сундука? Если Земля окружена хрустальным небесным куполом – тогда что же находится вне этого купола? 

На опубликованной в 1888 году гравюре изображён средневековый монах, который якобы отыскал место, где земля соединяется с небом, проделал в куполе неба дыру и выглянул наружу. Там он увидел множество чудесных вещей… А можем ли мы их увидеть?

Зенон Элейский, указывал на то, что понятие бесконечности: а) связано с таким понятием, как движение; б) во-вторых, обладает «двойственностью» или «неопределённостью».

В качестве примера можно привести обыкновенное колесо. Возьмём колесо, внутри которого бегает белка. Колесо это имеет ограниченный размер – мы можем взять линейку и спокойно измерить его вдоль и поперёк. Но с точки зрения белочки, которая бежит внутри этого колеса, оно бесконечно! Потому что белка может бежать, бежать и снова бежать – и всё равно никогда не добежит до «конца». 

Древние были просто очарованы этим парадоксом, – колесо одновременно объединяло ограниченность и бесконечность!

А вот другой пример, снова взятый у древнегреческих философов. Представим себе лягушку, которая прыгает по полу. Однако каждый следующий её прыжок в два раза короче, чем предыдущий. Тогда эта лягушка может скакать бесконечно долгое количество времени, но никогда не сможет проскакать даже расстояние в 10 шагов. Хотя 10 шагов, это даже первокласснику ясно, расстояние ограниченное. 

Есть такая игра – «шаги из круга». Игра эта очень проста. На песке чертят круг. Играющие встают в центр круга спиной к спине, а затем должны по очереди делать шаги. Правила были простые:

1. За каждый ход нужно сделать один шаг (то есть стоять на месте нельзя, кто остался на месте – тот проиграл).

2. Шаг нужно делать только в сторону края круга (то есть идти можно только вперёд, назад – нельзя).

Проигрывал в этой игре тот, кто первым пересекал границу круга. Попробуйте поиграйте в эту игру. Забавно смотреть, как игроки пытаются делать шажки всё меньше и меньше, всё меньше и меньше – лишь бы выиграть и не добраться до границы круга раньше соперника. 

Чтобы увидеть, что находится за краем Вселенной, нужно дойти до её края. А мы не можем!
Чтобы увидеть, что находится за краем Вселенной, нужно дойти до её края. А мы не можем!

Однако если мы перенесём эту игру в область математических вычислений, то обнаружим совершенно удивительную вещь. Представим себе самый обычный круг, а в центре этого круга – точку. И введём правило: чем ближе точка придвигается к краю, тем медленнее становится её скорость перемещения. Тогда мы получим удивительную штуку: с точки зрения точки внутри этого круга область круга станет... бесконечной!!! 

Подумайте сами: если у нас работает такое правило, то точка никогда не сможет проделать путь из центра круга до его края!

В математике это совсем не шутка. Достаточно задать определённый закон (или, как говорят математики, «преобразование») для скорости, времени или координат, и самый обыкновенный маленький шарик – размером с теннисный мячик! – вдруг оказывается «изнутри» настолько же бесконечным, как вся наша Вселенная. На языке математики это звучит так: «Открытый шар с радиусом 1, принадлежащий пространству R3, и само пространство R3 обладают одинаковой мощностью множества».

Это значит, что маленький шарик может вмещать в себя столько же «места», сколько вся Вселенная! 

В фильме «Люди в чёрном» внутри кулона на ошейнике кота помещалась целая галактика...
В фильме «Люди в чёрном» внутри кулона на ошейнике кота помещалась целая галактика...

А может быть, вся наша Вселенная – это такой вот маленький «мячик» внутри какой-то другой Вселенной? Даже немножко страшно. Однако математические формулы – штука невероятно упрямая...

Кто такой демон Лапласа и что такое теория хаоса? Как слабый росток пробивает асфальт? Из чего возникла живопись кубизма? Отчего у Мальвины волосы голубые? Читайте в лучшем в России детском журнале"Лучик". Оформить подписку на журнал можно на сайте Почты России.