Чудеса аналитических функций

18 June 2020

Мы уже обсуждали комплексную плоскость, которая естественным образом получается расширением числового поля, чтобы все операции были выполнимы. Теперь посмотрим на функции --- там сплошные чудеса.

Начнем с простого факта. Комплексные числа a+bi представляются матрицами вида

Чудеса аналитических функций

Легко проверить, что обычное сложение и умножение матриц соответствует сложению и умножению комплексных чисел --- а все остальное выводится.

Умножение матриц обычно некоммутативно --- результат зависит от порядка сомножителей --- но не в этом случае. Эти матрицы коммутируют.

Теперь возьмем функцию f(z), переводящую комплексное число в комплексное число. Можно считать ее просто отображением плоскости в плоскость: z = x+iy, f = u(x,y) + iv(x,y).

Если оно гладкое, у него есть производная в виде матрицы из частных производных u и v по x и y. Но мы хотим, чтобы производная была комплексным числом! Для этого необходимо, чтобы матрица имела указанный выше вид, из чего следуют условия Коши-Римана:

Чудеса аналитических функций

Удовлетворяющая им функция имеет обычную производную, только приращение аргумента, как и сам аргумент, может быть комплексным. Такая функция называется аналитической.

Из условий следует, что вещественная часть аналитической функции определяет мнимую с точностью до константы, и наоборот. И еще, что вещественная и мнимая части удовлетворяют уравнению Лапласа: сумма вторых производных равна нулю.

То есть, все аналитические функции --- это решения одного уравнения в частных производных --- того, которое описывает стационарное распределение тепла.

Этот факт не был бы шокирующим, если бы аналитическими не являлись все элементарные функции: многочлены, экспоненты, синусы и косинусы, логарифмы, дробные функции и всевозможные их комбинации.

Возьмем замкнутый путь на плоскости и аналитическую функцию f. Выражение f(z)dz можно раскрыть как (udx - vdy) + i(vdx + udy), и по условиям Коши-Римана интегралы от обоих частей равны нулю.

В самом деле, поле (u, -v) потенциально и поле (v,u) тоже.

Получается, что интеграл по замкнутому пути от аналитической функции равен нулю. А если не равен, то внутри контура есть особая точка, например, полюс, в котором функция уходит на бесконечность. Интеграл каким-то образом чует точку, которая лежит далеко от пути интегрирования.

Контур можно легко заменить на другой. Соединим два контура переходом и обойдем один, потом перейдем на второй, обойдем его и вернемся на первый. Если между контурами особых точек нет, то интеграл по такому сложному пути равен нулю. Интеграл по перешейку тоже, так как тот проходится туда и обратно. Получается, что интегралы по контурам равны по величине и сокращают друг друга.

Главное, чтобы между контурами особых точек не было!
Главное, чтобы между контурами особых точек не было!

Возьмем аналитическую функцию f(z)/z и контур, окружающий нуль. Заменим его на окружность малого радиуса r с центром в нуле. Из-за непрерывности функции, можно заменить ее повсюду на f(0), сделав ошибку порядка r. Останется интеграл от dz/z. Число z обходит окружность, то есть его можно записать как e^{it},

(Мы помним, что e^{it} = cos(t) + i sin(t), что как раз и соответствует точкам окружности?)

где вещественное t пробегает от 0 до 2п. Подставляя, получаем интеграл от 0 до 2п от константы i, что дает, в итоге, 2пif(0). Теперь можно устремить r к нулю, получив точный результат:

Интеграл от f(z)/z по любому контуру, не содержащему особых точек, пропорционален f(0). (Это интегральная формула Коши).

Если вы не удивлены (и не удивлялись раньше), подумайте еще раз. Можно сдвигом заменить нуль на что угодно, то есть аналитическая функция внутри области определяется значениями на границе! Для решения уравнения в частных производных это нормально, но ведь "все" функции аналитические!

Решение уравнения теплопроводности не аналитическое по времени, так это преподносится как удивительный результат!

Но это еще не всё. Рассмотрим интеграл от f(z)/z^2. Всё развивается так же, но только теперь нельзя заменить функцию на ее значение в нуле, это слишком грубо. Используем определение производной: f(z) = f'(0)z с точностью до бесконечно малой, и получим, что интеграл пропорционален f'(0).

То есть, не только функция определяется интегралом по границе, но и производная. И вторая производная, и любая. Если у функции есть одна комплексная производная, то у нее есть все. И она раскладывается в ряд Тейлора, и он сходится к ней же.

Об аналитических продолжениях я расскажу в другой раз, как и о рядах, бесконечности, аналитическом продолжении и основной теореме алгебры. Эти темы достойны отдельной заметки! И не одной.