Математика прилива

16 August 2020
1,3k full reads
1,8k story viewsUnique page visitors
1,3k read the story to the endThat's 71% of the total page views
3 minutes — average reading time

Давайте поговорим о приливах. С чем связано это явление --- наверное, все знают. С гравитацией Луны и Солнца. Посмотрим же поподробнее.

Размеры Земли достаточно велики, чтобы гравитационный потенциал Луны был разным в отдаленных точках. Более того, достаточно велика даже глубина океана, чтобы потенциал на дне и на поверхности был различен --- в достаточной степени, чтобы вызвать перемещение вод. На наиболее близкой к Луне точке океана возникнет вершина водяной горы. При этом на противоположной (диаметрально) точке Земли, если она тоже попала на море, возникнет такой же горб.

Лунный прилив. Утрирован.
Лунный прилив. Утрирован.
Лунный прилив. Утрирован.

На рисунке горбы огромные, но в реальности они очень невелики. В глубоком океане разница может быть порядка метра --- сейши и ветровые нагоны могут быть больше. В мелком море приливы и того меньше.

Однако надо учесть движение Луны. За ней движутся и приливные волны. Будь Земля равномерно покрыта океаном, эти волны остались бы невелики. Но любые неравномерности же сразу проявляются. Даже метровая разница в уровне океана --- это, в масштабах океана, очень большая масса воды. При выходе на мелководье высота волны растет, при проходе проливов возникают мощные течения.

Тут важна география. Например, Белое море расположено так, что приливная волна беспрепятственно входит в него; в результате возникают очень сильные приливные течения и очень значительные колебания уровня. Приливная динамика доминирует в Белом море. А вот в Средиземном вход расположен иначе, и приливная волна в него не заходит. И Балтийское тоже.

Важно еще, что на волну действует сила Кориолиса, и она заворачивает. В итоге получается сложна картина "котидальных линий" вроде той, что на рисунке.

Котидальная линия --- линия одной и той же фазы прилива. Фаза --- это доля периода. Амфидромическая точка --- точка пересечения котидальных линий, и там амплитуда равна нулю.
Высота прилива М2 показана цветом, белые линии --- котидальные, белые точки --- амфидромические. Рис. с https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5e/M2_tidal_constituent.jpg
Высота прилива М2 показана цветом, белые линии --- котидальные, белые точки --- амфидромические. Рис. с https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5e/M2_tidal_constituent.jpg
Высота прилива М2 показана цветом, белые линии --- котидальные, белые точки --- амфидромические. Рис. с https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5e/M2_tidal_constituent.jpg

Лунный прилив обозначается М2. Из-за двух горбов он повторяется примерно два раза в сутки и потому называется полусуточный. На самом деле, период прилива (за это время их будет два) равен не 24 часа, а почти 25, точнее, 24 часа 53 минуты. Причина очевидна: за сутки Луна успевает пройти часть своего пути вокруг Земли, который равен одному месяцу (странно, почему так назвали?) или 27 суток. Поэтому Луну надо нагнать, пройдя, грубо, 1/27 суток, что и составляет 53 минуты.

Это обстоятельство не облегчает расчет прилива, потому что пойди посчитай, во сколько будет прилив через 42 дня.

Солнечный прилив тоже существует. Он вдвое слабее лунного, из чего Ньютон вывел отношение плотностей (средних) Солнца и Луны: Луна в два раза плотнее Солнца. Это красивое рассуждение стоит проследить.

Сила притяжения определяется законом обратных квадратов. Для прилива важна разность сил, то есть получаем закон обратных кубов. Массу притягивающего тела (Луны или Солнца) можно выразить через среднюю плотность и куб диаметра. Диаметр же получается через расстояние до небесного тела и его видимый угловой размер.
В итоге, сила прилива определяется плотностью и видимым диаметром --- расстояние в кубе сократилось, оно входит в выражение для массы и в закон обратных кубов, собственно.
Видимый диаметр Луны и Солнца совпадает, по странному совпадению --- они почти одинаковые на небе. А раз лунный прилив в два раза сильнее солнечного, значит, средняя плотность Луна в два раза выше, чем у Солнца.

Сизигийный прилив, высокий, когда солнечный прилив усиливает лунный, наблюдается тогда, когда Солнце, Земля и Луна находятся на одной прямой. При этом Луна и Солнце могут быть с одной стороны, а могут быть с разных. А квадратурный прилив, самый низкий, наблюдается тогда, когда Солнце, Земля и Луна находятся в вершинах прямоугольного треугольника.

Кстати, слово syzygy, вроде бы, является рекордсменом по числу сравнительно редкой буквы y в одном слове))
Сизигийный прилив

Приливы есть и на суше, хотя они, конечно, меньше. Вода в колодцах в некоторых местностях поднимается в отлив и опускается в прилив --- в противофазе. Явление заметили греки незадолго до начала нашей эры, но объяснение оно нашло через две тысячи лет. Каменная пористая водонесущая порода немного сжимается под действием приливных сил, отжимая воду, и расширяется при отливе, впитывая воду.

Явление приходится учитывать в коллайдерах: небольшое сжатие или растяжение породы приводит к небольшим --- порядка миллиметров изменениям в коллайдере, которое приходится компенсировать.

Пока всё, но возможно, что будет продолжение...

Путеводитель по каналу.