Об аналитическом продолжении

1 July 2020

Мы уже обсуждали аналитические функции, имеющие производную в обычном смысле, но в комплексной плоскости. Если есть одна производная, то есть и все, причем степенной ряд Тейлора сходится к этой функции.

Для функции на вещественной оси это не обязательно. Если все производные есть, то ряд Тейлора может сходиться к другой функции. Стандартный пример --- это функция f(x), такая, что ln f(x) = -1/x^2 и доопределенная нулем в нуле. При малых x функция мала и стремится к нулю, поэтому непрерывна в нуле (в других точках и проблем нет). Производная, по определению, есть, и тоже равна нулю. Все старшие производные --- аналогично. Ряд Тейлора из одних нулей --- сходится, но к не к f(x), а к нулю. Однако при любом комплексном x это уже не работает, предел может быть любым --- нуль является существенно особой точкой, а направления влево и вправо по вещественной оси --- просто два направления.

Функция, на самом деле, странная с точки зрения механики. Скорость в точке --- нуль, и ускорение нуль, а движение есть.

Для аналитических функций есть теорема единственности: если две функции совпадают на множестве с предельной точкой, они совпадают вообще везде. Поэтому аналитическая функция --- это вещь в себе, она несет в себе естественную область определения. Главное --- определить ее хоть где-нибудь, на отрезке или хоть на последовательности точек.

Например, арксинус. Он определен на [-1,1], но совпадает с некоторой аналитической функцией, у которой область определения больше. И никак его по-другому не расширить, без потери аналитичности.

Аналогично и арктангенс. Он продолжается на всю плоскость, кроме особых точек i и -i, что полезно проверить лично.

Дзета Римана определяется как ряд, но не степенной. Она определена при x>1, и продолжается на всю плоскость, кроме особых точек.

Само продолжение осуществляется рядами. Разложим функцию в степенной ряд --- он сходится в некотором круге. На границе круга есть особая точка, которая не дает увеличить круг (в круге особых точек быть не может). Возьмем точку близ границы и разложим в ряд вокруг нее. В общем случае, второй круг выйдет за пределы первого, увеличив область определения. Так можно растечься кругами на всю плоскость, обходя особые точки.

Правда, иногда можно, накрыв кругом некую точку повторно, получить там другое значение. Так возникают многозначные функции, например, логарифм Ln(z). С многозначными функциями много головной боли.

Но возможны случаи, когда у функции маленькая область определения (а не вся плоскость за вычетом отдельных особых точек). Например, функция

Об аналитическом продолжении

Этот ряд --- обычный степенной, только коэффициенты равны нулю у всех степеней, кроме тех, что являются степенями десятки (эти коэффициенты равны 1). Ряд сходится в единичном круге |z|<1. Граница круга --- окружность --- состоит из точек вида e^{2пi t}, где t между 0 и 1. Возьмем те t, которые представляют собой конечные десятичные дроби. Тогда, начиная с какого-то n, в показателе получится кратное 2пi число, то есть все слагаемые, начиная с какого-то, единички. Ряд расходится. Но такие t плотно заполняют окружность, поэтому через частокол особых точек функция "вытечь" не способна. Она определена только внутри круга.

Есть теорема, о том, что если длины серий нулевых коэффициентов растут достаточно быстро, то область определения функции ограничена.

Напоследок --- немного юмора и анонс будущей заметки. Ряд-прогрессия 1+x+x^2+...+x^n+... сходится при |x|<1 к функции 1/(1-x). Подставим x=2 в ряд. Он расходится. Но функция определена и равна -1. Можно сказать, что 1+2+4+8+16+...+2^n = -1. Профессор на экзамене оценит этот юмор --- я гарантирую это.

О расходящихся рядах я расскажу... скоро. Arrivederci a presto!