Чтобы понять Общую теорию относительности, надо владеть понятием тензора и знать основы геометрии искривленных пространств. Учитывая, что ни то, ни другое в университетские курсы не входит (по крайней мере, в некоторые), полезно очертить основы для интересующихся. Тензоры применяются в гидродинамике, механике твердого тела, да и вообще: полезно иметь представление.
В программировании одномерный массив иногда называют вектором. Это не совсем корректно, потому что вектор многомерного пространства --- это не просто набор чисел. Вектор --- это некоторый объект, который существует независимо от координатной системы и записывается в выбранных координатах набором чисел; важно, что при преобразовании координат вектор преобразуется совершенно определенным образом. Линейным.
Упрощенно говоря, вектор либо умножается на матрицу преобразования координат, либо --- на обратную к ней. В первом случае это контравариантный вектор, во втором --- ковариантный. Ковариантный, сиречь "так же преобразуемый", преобразуется так же, как базис; контравариантный преобразуется противоположным образом.
Например, скорость --- контравариантный вектор. Она такая, и всё, хотя в разных координатах ее числовая запись может (и будет) различаться. А градиент --- ковариантный вектор.
Проще показать на примере линейной функции. Зададим на векторах функцию ax; здесь a --- вектор, и x --- тоже вектор; однако они разные: первый ковариантный, второй --- контравариантный. В самом деле, если мы поменяли координаты, то надо либо x перевести в старые и умножить на a, либо а перевести в новые и умножить на х.
Этот простой принцип позволяет получать инвариантные соотношения, истинные в любых координатах. Например, если вектор равен нулю в одной системе, он равен нулю в любой другой.
Вектор --- тензор первого ранга. Тензор второго ранга --- это матрица, набор n^2 чисел (n --- размерность пространства). Тензоры второго ранга могут быть дважды коваринтными, дважды контравариантными и смешанными. Это указывают индексы, верхние и нижние. Обычно важен порядок, поэтому ставят точки: A_{.i}^{j.}.
Например, квадратичная функция Ax*x преобразуется в новые координаты умножением на матрицу перехода два раза, потому что надо оба икса перевести в старые координаты и там умножить на матрицу А. А вот линейный опреатор y=Ax --- матрица смешанного типа, потому что нужно х перевести в старые, умножить на А и результат вернуть в новые. Получается y = C(A(Bx)), сиречь y = (CAB)x, где С --- это "туда", а В --- "обратно."
Алгебра
Тензоры одного ранга можно складывать поэлементно и умножать по принципу "каждый на каждый", при этом получится тензор, ранг которого равен сумме рангов. Есть еще свертка по паре индексов, при которой соответственные элементы двух тензоров, по индексу у каждого, перемножаются и складываются. Часто свертка применяется в связке с умножением, возвращая ранг обратно. Соглашение о суммировании означает, что если индекс одного тензора совпадает с индексом другого (или того же самого), то по этим индексам происходит свертка.
Так, например, устроено умножение матриц. Это тензоры A_{ij} и B^{jk}. Индекс j общий, поэтому мы перемножаем элементы с одним и тем же j и складываем. Получается тензор C_i^k.
Аналогично и скалярное произведение векторов: x_iy^i.
Дифференцирование
Если в области задано тензорное поле, от компонент тензора можно взять частные производные по всем (декартовым) координатам, и получить абсолютную производную --- тензор с одним добавочным индексом. Например, абсолютная производная скалярного поля --- градиент, ковариантный вектор. Производная вектора x_i --- тензор второго ранга D_{ik}. Его след, то есть свертка с самим собой по его индексам: D_{ii} --- называется дивергенцией.
Возьмем стационарное (не зависящее от времени) поле скоростей v_i жидкости. Это векторное поле. Его производная --- тензор ранга 2 --- можно разложить на сумму симметричной и кососимметричной частей. Первая обладает свойством A_{ij}=A_{ji}, вторая B_{ij}=-B_{ji}. При этом бесконечно малая капля за бесконечно малое время: сдвинется в направлении v_i; растянется в трех направлениях, причем растяжения описываются компонетнами A; повернется на вокруг всех трех коорддинатных осей, причем углы поворота описаны тензором B.
Важно, что координаты могут быть любыми, но в каких-то работать проще. Обычно проще в декартовых. Однако идеология тензорного анализа --- независимость от координат. Поэтому они могут быть любыми. Все, что делается через координаты, должно делаться в любых координатах и преобразовываться по тензорным правилам.
Например, взять максимумы по строкам матрицы или минимумы по столбцам --- можно; получится "вектор", точнее, массив --- потому что в других координатах он уже совсем другой. Обычно в таких задачах координаты заданы жестко: если в матрице суммы выплат, то оси, уж извините, заданы. Но это не тензорное сотношение.
Метрика
Скалярное произведение векторов, через которое определяются длины и углы, задается метрическим тензором g_{ij} ранга 2 по формуле g_{ik}x_iy_k. Видите двойную сумму по совпадающим индексам?
В декартовых координатах метрический тензор имеет простой вид диагональной матрицы. В общем случае --- не обязательно. Более того, в общем случае он меняется от точки к точке: примерами служат полярные координаты на плоскости или сферические --- в пространстве, или сферические на сфере.
На плоскости или в трехмерном пространстве можно всегда перейти в декартовы координаты, а вот на сфере --- нельзя. Но ведь мы можем все вышесказанное проделать в любом пространстве, например, на поверхности (многообразии), в том числе на сфере. Координаты там есть, а декартовых никто не обещал.
Однако надо еще кое-что подготовить. В обычном пространстве у нас не было проблем с дифференцированием компонент тензора, потому что мы делали это в декартовых координатах. Теперь же у нас нет гарантий.
Смотрите, как считается производная? Мы смещаемся в выбранном направлении, берем там вектор; вычитаем из него вектор в исходной точке; делим на смещение; и переходим к пределу. Однако в кривых координатах после смещения у нас уже "всё по-другому" и вычитать вектор уже нельзя.
Надо уметь параллельно переносить вектор из точки в точку. Он при этом может поменять свое числовое представление. Например, в полярных координатах ближе к полюсу шаги короче, в сферических --- аналогично.
Это делается. Коэффициенты, по которым преобразуются компоненты вектора, называются символами Кристоффеля и выражаются через производные метрического тензора. Так что если он постоянный, вектор переносится без изменений своего представления. Символы Кристоффеля имеют три индекса, но тензора не образуют!
Например, параллельный перенос касательного к сфере вектора дает касательный к сфере вектор; относительно объемлющего пространства (которое нужно только для удобства!) вектор поворачивается.
Умея переносить вектор, мы можем определить, как я выше описал, абсолютную производную тензора. Это понятие уже работает в любых координатах, хоть криволинейных, хоть декартовых, независимо от вида пространства.
Цилиндр, например, плоский, и локально эквивалентен плоскости --- на нем метрический тензор постояный.
Индексы можно поднимать и опускать: g_{ij}x^j = x_i. Матрица g^{ij} --- обратная к g_{ij}.
Метрический тензор можно выносить из-под знака абсолютной производной: D(g_{ij}x^i) = g_{ij} D(x^i).
Геодезические
Определим геодезическую как такую кривую, что параллельно перенесенный касательный вектор остается касательным. На плоскости это прямые: касательный вектор, перенесенный вдоль кривой, неминуемо перестанет быть касательным. На сфере прямых нет, но принцип тот же. Геодезические --- это дуги окружностей того же радиуса, что и сама сфера.
Достаточно короткий отрезок геодезической доставляет кратчайшее расстояние между точками. Геодезическая имеет минимальную кривизну из всех кривых из данной точки в данном направлении.
Для геодезических есть дифференциальные уравнения второго порядка, в которые входят символы Кристоффеля (которые выражаются через производные метрического тензора). Поэтому, имея его, можно найти геодезические.
Кривизна
Кривизну самого пространства описывает тензор ранга 4, именуемый тензором кривизны. Смысл в том, что порядок абсолютного дифференцирования вектора по двум координатам может давать разные результаты, и разность u_i этих двух результатов, сама вектор, выражается линейно через исходный вектор u_q и два смещения: R_{lki}^q u_q dx^l dy^k. Коэффициенты этого разложения --- и есть тензор кривизны.
Он, кстати, обладает многими симмериями.
Его геометрический смысл в том, что параллельно обнесенный по контуру вектор меняет свое направление, и изменение, которое вектор, выражается через тензор кривизны. Помните, я рассказывал, что если от северного полюса идти от экватора все прямо, потом боком пройти полэкватора и спиной вперед вернуться на полюс --- то нигде поворотов относительно Земли не было, однако удалось развернуться.
Тензор Риччи получается сверткой тензора кривизны по двум индексам: R_{ki} = R_{qki}^q. Он симметричный: R_{ki}=R_{ik}. Если свернуть его по обоим индексам с метрическим тензором, получится скалярная кривизна R = g_{ij}R_{ij}.
Псевдоримановость
Матрица, которой записывается метрической тензор в каких-либо координатах, может быть всегда положительно определена --- в этом случае склярный квадрат ненулевого вектора всегда положителен, и такое пространство называется римановым. Однако это может быть не так, и тогда скалярный квадрат может быть как больше нуля, так и меньше, или равен нулю для ненулевых векторов. Такое пространство псевдориманово. В частности, таковым является пространство-время ОТО. Пространство-время Специальной теории относительности псевдоевклидово: это частный случай псевдориманова --- с нулевым тензором кривизны. Точки пространства-времени --- это события; интервал между ними может быть пространственно-подобен (квадрат длины геодезической больше нуля), времени-подобен (квадрат длины геодезической меньше нуля) и светоподобен (равен нулю).
Риманова геометрия
Теперь у нас есть всё для геометрии. Аксиом, как у Евклида, нет, но мы другими способами определили:
координаты, которые можно вводить по-разному, не влияя на сущность выводов;
метрика, позволяющая вычислять длины, углы, площади и объемы;
геодезические, играющие роль прямых.
Общая теория относительности
Как работает ОТО: уравнение Эйнштейна R_{ij} - 0.5Rg_{ij} = kT_{ij}. Слева тензор Риччи, скалярная кривизна и метрический тензор; справа тензор энергии-импульса и некоторая константа. Может быть еще слагаемое с космологической постоянной.
Тензор кривизны выражается через производные метрического тензора, а при свертке с собой эти производные перемножаются. Поэтому в тензор Риччи и кривизну R они входят нелинейно. Однако если эти уравнения решить, то мы найдем метрику четырехмерного пространства-времени, а через нее --- и геодезические, которые и есть орбиты.
Что такое тензор энергии-импульса, откуда он берется и как устроен, я расскажу в другой раз. В отдельной заметке мы решим уравнение Эйнштейна для простого случая центрально-симметричного поля и увидим, как это работает. Пока, в качестве анонса, отмечу очевидный факт.
Возьмем шар постоянной плотности, например, Солнце. В четырехмерном пространстве-времени это цилиндр. Пусть больше ничего нет. Тогда вне Солнца тензор энергии-импульса равен нулю, и уравнение Эйнштейна сводится к R_{ij} - 0.5Rg_{ij} = 0, которое сводится (скоро покажу, как) к R_{ij}=0.