Подписывайтесь на канал в Яндекс. Дзен или на канал в телеграмм "Математика не для всех", чтобы не пропустить интересующие Вас материалы.
Замечательные пределы - далеко не единственные математические конструкты с изящным и даже романтичным названием. Сегодня поговорим о совершенных числах: в чем их особенность, как их находить и какие загадки они до сих пор таят в себе.
Что такое совершенные числа и каковы их свойства?
Во-первых, совершенные числа принадлежат множеству натуральных чисел (кстати, вот краткий курс введения в теорию множеств, где очень доступно рассмотрены основные вопросы).
Во-вторых, с увеличением чисел совершенных среди них становится всё меньше.
В-третьих, неизвестно, конечно ли множество совершенных чисел. Как, скажете Вы, можно говорить о конечности какого-либо количества чисел, ведь число чисел бесконечно? Но не всё так просто, ответ на этот вопрос даёт теория множеств. Кстати, в своем блоге я рассказываю про этот раздел математики с самых азов.
В-четвертых, главное свойство совершенных чисел в том, что они равны сумме своих делителей.
Давайте посмотрим на самых "маленьких" представителей совершенных чисел.
6, 28, 496, 8128 - первые четыре представителя, уже десятое по счету совершенное число имеет 54 (!!!) значащих цифры.
Например, 6 делится на свои делители 1, 2 и 3, 28 делится на 14, 7, 4, 2 и 1. Легко проверить четвертое свойство: просто сложите делители!
На какие размышления не наводят числа 6 и 28 ? Американский математик-любитель Мартин Гарднер заметил, что Земля сотворена за 6 дней, а за 28 дней обновляется Луна. Ну как не подтверждения совершенства? (хотя лично я в это не верю)
Открыл главное свойство совершенные числа Евклид: он показал, что, если число 2^p-1 - простое, то число 2^(p-1)*(2^p-1) - совершенное и четное. Например, для простого числа 7, получим
2^p-1=7
p=3
2^(3-1)*(2^3-1)=4 *7 = 28
Таким образом, число 28 соответствует простому числу 7. В начале 20 века были найдены еще три совершенных числа (соответствующие простым числам - 89, 107 и 127). Для понимания: чтобы вычислить совершенное число, необходимо (вспомним, что в начале 20 века ЭВМ не было) обладать быстрым алгоритмом поиска простых чисел, чтобы наконец-то найти среди них такое, что 2^p-1={простое число}. А такие простые числа, как Вы уже догадались, попадаются ОЧЕНЬ редко.
К счастью, проверять вручную все делители огромного числа нет необходимости. Еще в 18 веке автор самой красивой формулы в математике - Леонард Эйлер - доказал, что все четные совершенные числа имеют форму, предсказанную Эвклидом.
Обратите внимание на "тонкость" формулировки: о существования нечетных совершенных чисел ничего не сказано. Как показывают последние исследования, если нечетное совершенное число существует, то оно больше 10^1500 степени.
В 2019 году известно всего 51 (!!!) совершенное число.
Парочка свойств совершенных чисел
1) Если сложить все цифры чётного совершенного числа (кроме 6), затем сложить все цифры полученного числа и так повторять, пока не получится однозначное число, то это число будет равно 1. Пример:
8128 ->8+1+2+8=19 - >1+9=10 - > 1=0 =1
2) Все чётные совершенные числа (кроме 6) являются суммой кубов последовательных нечётных натуральных чисел. Пример:
8128 = 3375 + 2197+ 1331 + 729 + 343 + 125 + 27 + 1 - кубы нечетных чисел от 1 до 15.
Зачем необходимо тратить огромные вычислительные мощности для вычисления совершенных чисел? Подискутируем в комментариях!
Путеводитель по каналу "Математика не для всех"
************************************************************************
Спасибо! Надеюсь, было очень интересно и познавательно! Буду рад, если Вы поддержите меня ПОДПИСКОЙ, ЛАЙКОМ или даже критическим комментарием.
**************************************************************************
Список материалов для начинающего математика:
- Зачем строителю египетский треугольник?
- Как считать на пальцах до 60 ?
- Самая красивая формула в мире математики.
- 2+2 =5 с точки зрения математики.
- Задачка про сосиски.
- Помните теорему Виета?
- Когда случайное не случайно: теорема Чебышева.
- Решаю ЕГЭ по математике (часть А).