Подписывайтесь на канал в Яндекс. Дзен или на канал в телеграм "Математика не для всех", чтобы не пропустить интересующие Вас материалы. Также есть группы в VK, Одноклассниках и Facebook : всё для математического просвещения!
Теории множеств посвящен отдельный блок публикация на моем канале. С первой вводной статьей можете ознакомиться здесь. Парадоксы в теории множеств обычно зубодробительны: чего только стоит случай в бесконечном отеле. Сегодня же расскажу еще про ти известных недоразумения. Поехали!
Парадокс Банаха-Тарского
Согласно этому парадоксу, можно разрезать шар ножом и получить два точно таких же шара! Но это на бытовом языке.
Строго говоря, речь идёт о том, что точки одного множества (исходного шара) можно отобразить в объединение точек двух множеств. Доказано, что для осуществления удвоения шара недостаточно "разрезать" его на 4 части, а вот на 5 - уже вполне.
Суть парадокса в том, что куски, на которые может быть разрезан шар в реальной жизни всегда имеют объем. В теории множеств же существуют т.н. "неизмеримые множества", которые могут не иметь объема, если под ним понимать какое-либо свойство аддитивности (целое можно разбить на части и склеить заново) и эквивалентности (объемы двух конгруэнтных фигур, т.е. получающихся в результате переноса, вращения или отражения, равны).
Кратко: шар разбивается на неизмеримые множества точек, которые не имеют объема. В реальности так сделать нельзя.
Кстати, сделать такое с окружностью на плоскости нельзя никаким образом, а вот собрать равновеликий квадрат из круга: легко!
Квадратура круга Тарского
Квадратура круга - это краеугольная задача всей математики, окончательно решенная в отрицательную сторону лишь в 19 веке с доказательство трансцендентности числа π.
Однако, уже знакомый нам Альфред Тарский в 1925 году предположил, что круг можно разбить на конечное число частей, в результате параллельного переноса, поворота или отражения которых, можно составить равновеликий кругу квадрат.
Впрочем, таких кусочков требуется 10^50 штук, сами они не являются измеримыми множествами, более того имеют границы, не являющимися жордановыми кривыми. Последнее вообще дикость: теорема Жордана говорит о том, что любая замкнутая кривая, например, на плоскости разделяет её на две части (грубо говоря, внутреннюю и внешнюю) и сама является границей между ними. Как вообще может быть по-другому ???
Читайте статью про удивительные треугольники Серпинского
Кстати, у этих двух парадоксов общее основание для доказательства - аксиома выбора Цермело - одно из самых спорных утверждений вообще в математике. Рассказать Вам о нём? Голосуйте!
Внимание! Я не рассматриваю описанный выше материал, как доказательство или разрешение парадоксов. Его цель - просто привлечь внимание аудитории к удивительным вещам из мира математики.
Кстати, в своей группе Вконтакте, я провожу розыгрыш трех замечательных книг. Переходите по ссылке!
*************************************************************************
Подписывайтесь на канал в Яндекс. Дзен или на канал в телеграм "Математика не для всех", чтобы не пропустить интересующие Вас материалы.
Проект моей супруги - канал "Русский язык не для всех"
**************************************************************************