Найти в Дзене
Математика не для всех

Катеноид - поверхность с удивительными свойствами, которую Вы могли наблюдать ещё в детстве

Самая первая из открытых минимальных поверхностей. И, конечно, без Леонарда Эйлера тут не обошлось.

Минимальные поверхности первым стал рассматривать Лагранж в 18 веке. Он задался вопросом найти поверхность минимальной площади, натянутой на заданный контур. Тем не менее, эта задача получила имя в честь бельгийского физика Жозефа Плато, который исследовал различные метаморфозы, происходящие с мыльными пленками.

Жозеф Плато Источник: https://images.newscientist.com/wp-content/uploads/2019/10/14131027/ffamgr.jpg
Жозеф Плато Источник: https://images.newscientist.com/wp-content/uploads/2019/10/14131027/ffamgr.jpg

Плато экспериментировал с проволочными планками, на которые наносил мыльный раствор. В результате иногда получались просто завораживающие вещи:

Термин "минимальная поверхность" относится к любой поверхности с локально минимальной площадью. Слово "локально" означает, что если мы посмотрим на небольшую область вокруг любой точки поверхности, то не сможем уменьшить её площадь.

Катеноид - первая и самая простая из минимальных поверхностей, которую Вы можете получить у себя дома. Для этого надо взять два проволочных кольца и мыльный раствор, а затем немного растянуть их друг от друга:

Источник: https://blogs.scientificamerican.com/blogs/assets/File/catenoid.png
Источник: https://blogs.scientificamerican.com/blogs/assets/File/catenoid.png

С математической точки зрения катеноид представляет собой поверхность второго порядка, полученную вращением цепной линии ( о ней я подробно рассказывал в задаче о двух столбах и натянутой между ними веревке).

Источник: https://blogs.scientificamerican.com/blogs/assets/File/Catenoidgif.gif
Источник: https://blogs.scientificamerican.com/blogs/assets/File/Catenoidgif.gif
Присмотревшись, можно увидеть, что катеноид - это цилиндр с "узкой талией".

Еще одно важное наблюдение можно произвести, если растягивать проволочные кольца до того момента, как мыльный пузырь не лопнет:

Обратите внимание, как верхняя и нижняя кривые линии идеально уравновешивают друг друга! Математически это означает, что катеноид, как и все минимальные поверхности, имеют нулевую среднюю кривизну.

У катеноида есть настоящая сверхспособность. Всего лишь одним разрезом и осторожными манипуляциями он может превратиться в геликоид, еще одну минимальную поверхность:

Источник: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/ce/Helicatenoid.gif
Источник: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/ce/Helicatenoid.gif

Катеноид и геликоид были математически описаны Леонардом Эйлером. В течение следующих сотен лет, математический зоопарк пополнился намного более причудливыми минимальными поверхностями, однако, превзойти катеноид в изяществе и простоте уже не получился ни у кого. Спасибо за внимание!

Читайте также про многоликий овал Кассини

  • TELEGRAM, VKONTAKTE и Facebook - там я публикую не только интересные статьи, но и математический юмор и многое другое.
Что-то пошло не так, и нам не удалось загрузить комментарии. Попробуйте ещё раз
Рекомендуем почитать
Если гравитация распространяется со скоростью света, то как она может удерживать свет в чёрной дыре?
Космос полон парадоксов, способных взорвать мозг обывателя и заставить задуматься даже умудренных опытом физиков. И, пожалуй, нет более изящной загадки, чем вопрос: как, черт возьми, гравитация умудряется удерживать свет в чёрной дыре, если сама распространяется с той же скоростью? Вот представьте: вы — фотон, летящий со скоростью света (иначе вам нельзя, таковы правила игры), и вдруг перед вами — чёрная дыра. Вы бы хотели её облететь, да не тут-то было! Гравитация хватает вас за шкирку и тащит внутрь,...
Сфера Дайсона или природный феномен: что на самом деле представляет собой загадочный объект Телеиос?
Когда австралийские астрономы впервые заметили идеально круглый объект в радиодиапазоне, первой мыслью было: "Этого не может быть в природе". Телеиос (G305.4-2.2) выглядит настолько совершенным, что получил свое имя от греческого слова "τϵλϵιoσ" — что означает "идеальный". И не зря. Его симметрия ставит в тупик ученых, привыкших, что космические структуры имеют определенные искажения. Как и откуда взялся этот объект? Может, это след древней внеземной цивилизации? Или всё-таки природа иногда любит геометрическую точность? Давайте разберемся...
Что такое гравитационное поле?
Итак, друзья мои, продолжаем рубрику "Простые понятия". Cегодня поговорим про такую штуку, как гравитационное поле. Получился у нас этакий котопёс, ведь гравитационное поле - это не самое простое понятие, которое можно было выбрать для рубрики "Простые понятия". Но составить хотя бы общее представление о том, чем является гравитационное поле, невероятно важно. Вообще, понятие поля в физике всегда хочется с чем-то сопоставить. И практически всегда такое сопоставление будет совершенно неверным. Все...
Наука
7 млн интересуются
Документы, вакансии и контакты