"Ах, Крамер, я Вас любила!". Самый изящный метод решения систем линейных уравнений

21 June 2020
2,2k full reads
2 min.
4,2k story viewsUnique page visitors
2,2k read the story to the endThat's 53% of the total page views
2 minutes — average reading time

Подписывайтесь на канал в Яндекс. Дзен или на канал в телеграм "Математика не для всех", чтобы не пропустить интересующие Вас материалы. Также есть группы в VK, Одноклассниках и Facebook : всё для математического просвещения!

Дорогой Читатель, я уже писал недавно о самом простом методе решения систем линейных уравнений (вот и он). Описанный способ являлся самым популярным, но далеко не самым красивым. Максимальное изящество имеет метод Крамера несмотря на то, что требует обращения с матрицами. Уверяю Вас, в них нет ничего сложного, тем более в статье я проведу небольшой ликбез. Поехали!

Что такое матрица ?

Числовая матрица - это по своей сути таблица, состоящая из строк и столбцов.

Квадратная матрица А 3-го порядка
Квадратная матрица А 3-го порядка
Квадратная матрица А 3-го порядка

Кроме понимания, что такое матрица, для решения систем линейных уравнений методом Крамера необходимо знать "определитель матрицы" - скалярную величину (число), которую можно поставить в соответствие любой квадратной матрице. Иначе в терминах отображений (почитайте про них, очень понятно):

Т.е. определитель (детерминант) - это функция, которая отображает (ставит в соответствие) квадратную матрицу порядка n на некоторое число из R (множество вещественных чисел - подробнее тут). У определителя есть много интересных свойств, например, если переставить строки матрицы, то его знак изменится, или если прибавить одну строку матрицы к другой (хоть даже умноженную на какое-либо число) детерминант вообще не изменится.

Как вычислить определитель матрицы?

На самом деле способов его вычисления существует несколько. Для матриц первого и второго ранга вычисления слишком тривиальны:

Определитель матрицы первого порядка равен единственному элементу этой матрицы. Для второй матрицы необходимо вычислить разность произведений элементов главной (от 1 к 3) и побочной диагонали (от 4 к -2).
Определитель матрицы первого порядка равен единственному элементу этой матрицы. Для второй матрицы необходимо вычислить разность произведений элементов главной (от 1 к 3) и побочной диагонали (от 4 к -2).
Определитель матрицы первого порядка равен единственному элементу этой матрицы. Для второй матрицы необходимо вычислить разность произведений элементов главной (от 1 к 3) и побочной диагонали (от 4 к -2).

Для матрицы третьего порядка существует мнемоническое "правило треугольника", но мне всегда было проще пользоваться исходным способом: а именно разбивать матрицу 3-го порядка на матрицы 2-го и вычислять их определители (метод разложения по строкам):

Определитель матрицы обозначается прямыми скобками
Определитель матрицы обозначается прямыми скобками
Определитель матрицы обозначается прямыми скобками

Надеюсь, максимально понятно объяснил. Обратите внимание на минус между первым и вторым слагаемым!

Решение системы линейных уравнений методом Крамера

Швейцарский математик Габриэль Крамер (1704 - 1752). Источник: https://eponym.ru/GaleryImages/IE3AKRY96810I9YJ576FOZV70.jpg
Швейцарский математик Габриэль Крамер (1704 - 1752). Источник: https://eponym.ru/GaleryImages/IE3AKRY96810I9YJ576FOZV70.jpg
Швейцарский математик Габриэль Крамер (1704 - 1752). Источник: https://eponym.ru/GaleryImages/IE3AKRY96810I9YJ576FOZV70.jpg

Итак, пусть у нас имеется система линейных уравнений вида :

Тогда мы можем записать ЧЕТЫРЕ определителя на основе этих коэффициентов:

В определителях столбец коэффициентов при соответствующей неизвестной (например, при x1) заменяется столбцом свободных членов системы (b1,b2,b3). Тогда решение будет равно:

Сложно? На примере вспомните или поймете элементарно. Имеем систему уравнений:

Прежде всего запомните, что если в одном из уравнений отсутствует одна из переменных, её надо дописать с нулем, чтобы не забыть. Вычисляем определители по формулам:

Почти готово, подставляем и получаем ответ:

Да, ответ не очень красивый, но это обусловлено случайными коэффициентами, придуманными "на лету". Кстати, может было бы удобнее решить эту систему методом Гаусса?

Существует еще один классный метод решения систем линейных уравнений. Он может показаться сложнее, но с точки зрения алгоритмической сложности он на голову обходит, например, метод Крамера и совсем немного уступает методу Гаусса.

Подписывайтесь, об этом методе расскажу в одном из следующих выпусков!

Спасибо! Надеюсь, было очень интересно и познавательно! Буду рад, если Вы поддержите меня ПОДПИСКОЙ, ЛАЙКОМ или даже критическим комментарием.

Путеводитель по каналу "Математика не для всех"

**************************************************************************

О чем я еще пишу:

Теорема неслучайности: неравенство Чебышева
Песнь о замечательных пределах
Ответ тем, кто отрицает пользу математики в обычной жизни
Про важные и интересные числа
Экзотические тригонометрические формулы, которые не дают в школе