Аксиома Архимеда: простейшее, но очень "глубокое" утверждение

14 July 2020
19k full reads
1,5 min.
33k story viewsUnique page visitors
19k read the story to the endThat's 57% of the total page views
1,5 minute — average reading time

Подписывайтесь на канал в Яндекс. Дзен или на канал в телеграм "Математика не для всех", чтобы не пропустить интересующие Вас материалы. Также есть группы в VK, Одноклассниках и Facebook : всё для математического просвещения!

Аксиома Архимеда: простейшее, но очень "глубокое" утверждение

Сегодня у нас фундаментальный материал, который, к слову, может показаться настолько тривиальным, что совсем не требует пояснений (примерно как перестановки и подстановки в абстрактной алгебре). Однако за кажущейся простотой скрывается очень глубокий смысл. Поехали!

Что такое величины ?

Именно таким вопросом задавались древнегреческие математики, в частности, Евдокс Книдский. К величинам он относил как числа, так и непрерывные объекты: отрезки, площади и объемы.

Источник: https://uslide.ru/images/27/33314/960/img11.jpg
Источник: https://uslide.ru/images/27/33314/960/img11.jpg
Источник: https://uslide.ru/images/27/33314/960/img11.jpg
Кстати в какой-то степени, Евдокс Книдский - первый, кто заговорил о вещественных числах, хотя и рассматривал их чисто геометрическую интерпретацию.

Итак, в чём сущность аксиомы Архимеда, по иронии судьбы описанной вышеупомянутым Евдоксом:

Если имеются две величины a и b, причем a меньше b, то взяв a некоторое количество раз можно превзойти b.
Аксиома Архимеда: простейшее, но очень "глубокое" утверждение

На первый взгляд ничего необычного, но стоит помнить, что для древнегреческих математиков, поднимавших аксиоматику с "нуля" это было по-настоящему важно. Во-вторых, эта аксиома на языке современной математики утверждает буквально следующее:

Не существует бесконечно малых и бесконечно больших величин.

Если математическая структуры удовлетворяет аксиоме Архимеда - то она называется архимедовой. Простейший пример архимедового поля множество вещественных чисел. Действительно, какую бы пару чисел Вы не взяли, меньшую из них можно складывать до тех пор, пока она не превысит большую. Аналогичное утверждение верно для площадей и объемов. Кроме того из аксиомы Архимеда выводятся несколько важных теорем:

Поразмышляйте над простотой и одновременно "массивностью" этих теорем
Поразмышляйте над простотой и одновременно "массивностью" этих теорем
Поразмышляйте над простотой и одновременно "массивностью" этих теорем

А какие же есть не архимедовы структуры?

Как ни странно, такой структурой может быть окружающая нас Вселенная. Ведь на расстояниях, меньше планковской длины (об этой замечательной величине читайте здесь), аксиома Архимеда, скорее всего, не работает: просто потому, что, исходя из принципов квантовой механики, невозможно измерить расстояния, меньшие её, что напрямую нарушает аксиому непрерывности.

Источник: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/54/Archimedes_cigar_box.jpg
Источник: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/54/Archimedes_cigar_box.jpg
Источник: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/54/Archimedes_cigar_box.jpg
Всё это приводит к выводу о том, что вещественные числа не могут являться инструментом для описания процессов микромира. Т.е. с точки зрения геометрии мы можем измерить любую величину, а вот на практике.... А как считаете Вы?

**************************************************************************

Путеводитель по каналу "Математика не для всех" - здесь собрано больше 100 статей на самые разнообразные темы: как для новичков, так и для более начитанных математиков! Например, почитайте про самое маленькое число, которое когда-либо использовалось учеными.

Спасибо! Надеюсь, было очень интересно и познавательно! Буду рад, если Вы поддержите меня ПОДПИСКОЙ, ЛАЙКОМ или даже критическим комментарием. ССЫЛКА НА ДЗЕН-КАНАЛ и TELEGRAM.

**************************************************************************