Аксиома выбора - самое противоречивое утверждение во всей математике

5,9k full reads
13k story viewsUnique page visitors
5,9k read the story to the endThat's 45% of the total page views
2,5 minutes — average reading time

Добрый день, уважаемые Читатели! Менее, чем за четыре дня, опрос, размещенный в статье про 2 парадокса из теории множеств, набрал более 400 откликов. Вот, что я в нём спрашивал:

Аксиома выбора - самое противоречивое утверждение во всей математике

Итак, следуя воле читателей, расскажу об этой удивительной аксиоме, но начну, пожалуй, со слов известного математика, автора т.н. "парадокса брадобрея", Бертрана Рассела:

«Сначала она (аксиома выбора, прим. автора) кажется очевидной; но чем больше вдумываешься, тем более странными кажутся выводы из этой аксиомы; под конец же вообще перестаешь понимать, что же она означает»

Как и любая математическая теория, теория множеств строится на определенной аксиоматике, наиболее распространенной из которых является система Цермело-Френкеля. Из 9 аксиом, входящих в её состав, только аксиома выбора подвергается серьезным нападкам: несмотря на то, что без её помощи многие утверждения не удалось бы доказать, её использование, зачастую, приводит к самым изощренным парадоксам. Попробуем разобраться. Поехали!

Формулировка аксиомы

"Для любого семейства непустых множеств X существует такая функция f, которая каждому множеству семейства сопоставляет один из элементов этого множества. Такая функция f называется функцией выбора. "

Вопрос определенности бесконечной функции выбора - краеугольный камень теории множеств. Сторонники аксиомы выбора утверждают, что раз выбор возможен для множеств под номерами 1,2,3 и т.д., то он возможен по индукции в общем виде, т.е. бесконечная функция выбора определяется конечным утверждением, и проблем нет.
Вопрос определенности бесконечной функции выбора - краеугольный камень теории множеств. Сторонники аксиомы выбора утверждают, что раз выбор возможен для множеств под номерами 1,2,3 и т.д., то он возможен по индукции в общем виде, т.е. бесконечная функция выбора определяется конечным утверждением, и проблем нет.
Вопрос определенности бесконечной функции выбора - краеугольный камень теории множеств. Сторонники аксиомы выбора утверждают, что раз выбор возможен для множеств под номерами 1,2,3 и т.д., то он возможен по индукции в общем виде, т.е. бесконечная функция выбора определяется конечным утверждением, и проблем нет.

Пусть имеется бесконечное число пар ботинок (на языке аксиомы - это семейство непустых множеств, каждое из которых состоит из двух элементов). Функция, выбирающая из каждой пары только левый ботинок и сопоставляющая его этой же паре называется функцией выбора.

Интересно, что, если бы математики, оперировали только конечными множествами, в аксиоме выбора не было бы необходимости: в таком случае она выводится индуктивно. Но, как мы знаем, бесконечные множества применяются в математике повсеместно, а для них в общем виде аксиома выбора не выводится и должна постулироваться. Давайте еще один пример:

Как в данном случае определить функцию выбора, если все носки неразличимы?
Как в данном случае определить функцию выбора, если все носки неразличимы?
Как в данном случае определить функцию выбора, если все носки неразличимы?

Вот здесь-то и приходит на помощь аксиома выбора, а точнее эквивалентная ей теорема Цермело, которая утверждает, что любое множество можно сделать "вполне упорядоченным", т.е. таким, что в любом его подмножестве есть минимальный элемент.

Как это сделать с носками в нашем примере? Проще всего пронумеровать носки в каждой паре номерами 1 и 2, а функцию выбора определить, как выборку только "нечетных носков". Но, сама возможность такой нумерации выводится только из аксиомы выбора, другого варианта, к сожалению, нет.

Если не принимать аксиому выбора (что, впрочем, не заставляет нас её отрицать) многие вещи всё равно будут странными. Например, тогда декартово произведение бесконечного набора множеств может быть пустым? А если принимать аксиому выбора, то возможен парадокс бесконечного отеля, положительно решается задача о разбиении шара и квадратура круга Тарского. В то же время, доказательство многих утверждений из математического анализа будет более простым, да вопросы, связанные с разного рода "бесконечностями" будут непротиворечивы.

Кстати, есть еще вариант принять аксиому счетного выбора, тогда можно будет построить все теории, не оперирующие бесконечными множествами.
Аксиома выбора - самое противоречивое утверждение во всей математике

Напоследок, хотелось бы вспомнить буриданова осла. Помните, от чего он умер? Уж явно не от отсутствия еды. Он умер от необходимости выбора. Так может отринуть необходимость рассматриваемой аксиомы и не оперировать несуществующими бесконечностями. Как Вы думаете? Пишите в комментариях.

Понравилось? А знаете, как теорема Байеса может буквально перевернуть Вашу логику с ног на голову ?

Путеводитель по каналу "Математика не для всех" - здесь собрано больше 100 статей на самые разнообразные темы: как для новичков, так и для более начитанных математиков!
Второй проект - канал "Русский язык не для всех"

Спасибо! Надеюсь, было очень интересно и познавательно! Буду рад, если Вы поддержите меня ПОДПИСКОЙ, ЛАЙКОМ или даже критическим комментарием. ССЫЛКА НА ДЗЕН-КАНАЛ и TELEGRAM.

**************************************************************************