38 498 subscribers

Божественный предел и теорема Штольца

3,2k full reads

Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Сегодня я хочу показать Вам необычайной красоты пример нахождения предела последовательности с использованием теоремы Штольца. Пример достаточно простой, в нём нет никакой запредельной математики. Поехали!

Источник: https://yt3.ggpht.com/a/AATXAJzhLYcr4DfrQgE39ofeoNK7zb-TZ1t7NHNXrvHm=s900-c-k-c0x00ffffff-no-rj
Источник: https://yt3.ggpht.com/a/AATXAJzhLYcr4DfrQgE39ofeoNK7zb-TZ1t7NHNXrvHm=s900-c-k-c0x00ffffff-no-rj

Итак, необходимо найти значение такого выражения:

Божественный предел и теорема Штольца

Подход к решению, в целом, довольно стандартный, если под знаком предела присутствуют радикалы: необходимо прологарифмировать левую и правую часть выражения:

Божественный предел и теорема Штольца

А вот теперь придется вспомнить теорему, доказанную австрийским математиком Отто Шольцем. Она гласит, что для двух положительных последовательностей, одна из которых монотонно возрастает справедливо условие:

Божественный предел и теорема Штольца

В качестве последовательностей x и y возьмем числитель и знаменатель нашего примера:

Божественный предел и теорема Штольца

Все условия теоремы Штольца для обоих последовательностей выполнены. Начинаем её активно применять.

Божественный предел и теорема Штольца

Преобразования тривиальны. Единственное, что надо помнить, что (n+1)! = n! * (n+1). Что же мы видим в конце? Правильно, замечательный предел! Вернемся от логарифмов к исходному выражению и получим ответ:

Божественный предел и теорема Штольца

Спасибо за внимание! Читайте про самый страшный интеграл в Вашей жизни, на решение которого придется потратить всего лишь десяток секунд!

  • TELEGRAM и Facebook - там я публикую не только интересные статьи, но и математический юмор и многое другое