Чему равен логарифм мнимой единицы?

4 June 2020
5,9k full reads
1,5 min.
8k story viewsUnique page visitors
5,9k read the story to the endThat's 75% of the total page views
1,5 minute — average reading time

Подписывайтесь на канал в Яндекс. Дзен или на канал в телеграмм "Математика не для всех", чтобы не пропустить интересующие Вас материалы.

Итак, еще в школе на уроках математики нас научили, что логарифм определен для неотрицательных чисел. Однако, познакомившись с комплексными числами, многие из Вас задались вопросом, а можно ли вычислять логарифм от отрицательного или комплексного числа? Ответ Вы узнаете ниже, поехали!

Что такое комплексное число?

Простенькое определение для понимания и рисунок:

Z - обозначает комплексное число
Z - обозначает комплексное число
Z - обозначает комплексное число

Если y=0, то любое комплексное число становится вещественным. Таким образом комплексные числа являются надмножеством вещественных (не забыли еще уроки по теории множеств?).

Над комплексными числами определены все привычные нам операции, в том числе и логарифмирование. Чаще всего же оперируют натуральным логарифмом по основанию e, поставим задачу:

Для разрешения этой проблемы, необходимо знать, как записывать комплексные числа. Всё просто:

Это алгебраическая форма записи, от неё легко перейти к экспоненциальной:

Теперь необходимо всего лишь вспомнить, что ln(e^x)=x и получить ответ:

Небольшое пояснение: строго говоря, логарифм комплексного числа многозначен. Этим и объясняется появление в ответе k=0,1,2... и т.д.

При к=0 математики говорят о главном значении логарифма комплексного числа. Например, вычислим, чему равен логарифм 1:

Обычно, главное значение пишут как ln(z), а общее как Ln (z)
Обычно, главное значение пишут как ln(z), а общее как Ln (z)
Обычно, главное значение пишут как ln(z), а общее как Ln (z)

Итак, мы только что преодолели трудности школьной математики и выяснили, что логарифмы можно брать от комплексных чисел и что они многозначны!

Вопрос Вам, дорогие читатели! А чему равен логарифм минус 1? Подсказкой Вам будет моя статья о самой красивой формуле в математике.

************************************************************************

Спасибо! Надеюсь, было очень интересно и познавательно! Буду рад, если Вы поддержите меня ПОДПИСКОЙ, ЛАЙКОМ или даже критическим комментарием.

Путеводитель по каналу "Математика не для всех"

**************************************************************************