Числа, которые больше бесконечности. Ординалы.

33k full reads
45k story viewsUnique page visitors
33k read the story to the endThat's 73% of the total page views
2 minutes — average reading time

Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Я очень люблю математику за то, что она позволяет заглянуть в такие места, в которые никаким другим образом человеческий разум попасть не сможет. Как Вы уже догадались, речь в этой статье пойдет о бесконечности. Оказывается, среди бесконечно больших чисел тоже есть "классовое" деление, в котором одни больше других. Уверен, Вам понравится логика такого разделения. Поехали!

Источник: https://i.ytimg.com/vi/bjIyxD33bI8/maxresdefault.jpg
Источник: https://i.ytimg.com/vi/bjIyxD33bI8/maxresdefault.jpg
Источник: https://i.ytimg.com/vi/bjIyxD33bI8/maxresdefault.jpg

Итак, начнем с самого низа. Как мы считаем предметы? Математик, не задумываясь, ответит, что в случае устного счета мы осуществляем биективное отображение множества натуральных чисел 1,2,3 и т.д. на множество объектов.

Ключевое слово здесь - "множество". Сами того не зная, пересчитывая яблоки в корзине мы оперируем понятием "мощность множества", иначе называемым в математике "кардинальным числом". Например, 31 - это кардинальное число множества дней в декабре, а 5 - кардинальное число пальцев на руке и т.д. Надеюсь, с кардинальными числами или кардиналами всё понятно.

А теперь перенесемся в бесконечность. Что можно сказать о двух бесконечно больших числах, пусть даже таких огромных, что их никогда не получится записать на материальный носитель? Правильно, мы можем определить их порядок. Мы можем сказать, что одно бесконечное число больше другого на 1, на 2 и т.д.

Важный момент - чтобы так говорить о множествах бесконечно больших чисел, мы должны их линейно упорядочить. Это выглядит так: если мы возьмем любое число бесконечно больших чисел, мы всегда должны иметь в нём наименьший элемент. То же верно и для небольших чисел, например, множество {3,4,5,6,7,8,9} - линейно упорядоченное, т.к. имеет наименьший элемент - 3.

Становится понятно, что у каждого линейно упорядоченного множества помимо мощности есть и другая характеристика - порядковый тип - некий "размер" множества, ограничивающий его сверху. Например, для множества {0,1,2,3...99} порядковым типом будет ординал 100. Еще пример:

  • Кардинал 77 - это привычное нам число 77 (семьдесят семь);
  • Ординал 77 - это упорядоченное множество {0,1,2...76} (семьдесят седьмой).

До того момента, как используются конечные ординалы, совпадающие с натуральными числами, проблем не возникает Однако, как только мы переносимся в бесконечность, становится очень важно различать размеры (кардиналы) и позиции (ординалы) чисел.

В математике первый бесконечный ординал обозначается буквой ω (омега), который отождествляется с множеством натуральных чисел. Это как бы число, большее любого натурального числа, ограничивающее их множество сверху, как в элементарных примерах с небольшими числами.

Первый бесконечный ординал соотвествует алеф-ноль - наибольшему счетному множеству. Дальше идут несчетные. Источник: https://whichinfinity.files.wordpress.com/2018/01/img_3123.jpg?w=1100
Первый бесконечный ординал соотвествует алеф-ноль - наибольшему счетному множеству. Дальше идут несчетные. Источник: https://whichinfinity.files.wordpress.com/2018/01/img_3123.jpg?w=1100
Первый бесконечный ординал соотвествует алеф-ноль - наибольшему счетному множеству. Дальше идут несчетные. Источник: https://whichinfinity.files.wordpress.com/2018/01/img_3123.jpg?w=1100

С этим разобрались. теперь проще. Что идет за ординалом ω? Естественно, ω + 1-ый, ω+2-ый и т.д. Развивая полёт мысли мы можем описать ординал ω+ω = ω*2. После него нас ожидает ω*2+1-ый и только после него ω*3 и и т.д.

Как получить еще большую бесконечность? Её нужно возвести в квадрат, куб и, наконец, в саму бесконечность - ω^2, ω^3, ω^ω.

Это только начальный этап путешествия по бесконечным ординалам. Источник: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e6/Omega-exp-omega-labeled.svg/600px-Omega-exp-omega-labeled.svg.png
Это только начальный этап путешествия по бесконечным ординалам. Источник: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e6/Omega-exp-omega-labeled.svg/600px-Omega-exp-omega-labeled.svg.png
Это только начальный этап путешествия по бесконечным ординалам. Источник: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e6/Omega-exp-omega-labeled.svg/600px-Omega-exp-omega-labeled.svg.png

Но и это не предел: мы можем возводить бесконечность в бесконечность в квадрате - ω^(ω^2), в кубе - ω^(ω^3), и даже бесконечность в степени бесконечность в степени бесконечность... и когда-нибудь придти к невероятно большому, но всего-лишь первому ординалу Кантора, о котором я обязательно расскажу!

Дорога эта идет в бесконечность, но почему не попробовать пройти по ней в чертогах разума?

Читайте также:

Чтобы лучше понять про множества и бесконечность, я рекомендую Вам изучить 4 мои статьи, написанные на простом, научно-популярном языке: